LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO NATURAL Y LA NUMERACIÓN.

Origen de la configuración de una estructura numérica, junto con los principios de un sistema que permitió su designación:
- Matemática Babilónica.
- Se amplió con aportaciones de la matemática griega.

La introducción del sistema de numeración decimal se introdujo en Europa:
- Año 770. Escuela matemática de Bagdad surge la notación decimal hindú.
- 825. Comienza su difusión con la obra de Al Khwarizmi.
- Ppios. S. XII. Gerardo de Cremona y Robert Chester (escuela traductores de Toledo) la traducen al latín.

(Los europeos aprendieron de los árabes, y éstos de los hindúes, además de la escritura de los números, el método del cálculo escrito (algoritmos, derivado de Al Khwarizmi).


OBJETIVOS:

- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático y didáctico, la notación de número natural y de sistema de numeración.
- Aproximarnos a diferentes modelos de enseñanza del número y de la numeración para determinar cómo la institución escolar ha considerado, y considera en la actualidad, estos conocimientos matemáticos en los primeros niveles escolares.
- Construir, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, la situación fundamental para la cardinación de una colección, determinar sus variables didácticas para generar una familia de situaciones didácticas derivadas de ella.
- Analizar las situaciones que puedan dar significación al número natural y a la numeración en los niveles escolares donde comienzan a construirse estos conocimientos matemáticos.
- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los alumnos en la resolución de los problemas anteriores, así como la actividad matemática que desarrollan con ellos.
- Estudiar la evolución seguida en la designación de los números: análisis, limitaciones y propiedades de diferentes sistemas de numeración.
- Llevar a cabo análisis didácticos de situaciones de enseñanza-aprendizaje del número de y de la numeración.
- Analizar errores cometidos por los niños en relación con estos conocimientos matemáticos e identificar sus causas.




LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO Y DE LA NUMERACIÓN. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.

(Estudio relativo a procesos de transposición didáctica. Como iniciación al análisis didáctico del tema, vemos la evolución en los programas y manuales escolares de los tres últimos periodos históricos en los que se refiere a la numeración y el número natural).

1953-1971.
Los números se presentan en los textos escolares comenzando por la unidad, y todo número se formaba a partir del anterior. Aprendizaje por ostensión. La hipótesis de los autores principalmente empirista: aprendizaje basado en la experiencia, graduando adecuadamente los pasos desde lo más simple a lo más complejo (observar, reproducir y repetir).

Se distingue entre números concretos y abstractos:
“Números concretos son los que expresan la especie de sus unidades. Siete pesetas, cuatro niños, quince metros, etc. Números abstractos son los que no expresan la especie de sus unidades: cuatro, siete, doce.”

1971-1992.
Aparece la necesidad de adquirir “conocimientos prenuméricos” (sin ellos no es posible construir el número):

- 1ª etapa EGB; se pretende que los alumnos lleguen a la expresión numérica mediante el ejercicio y la expresión consciente de las relaciones entre conjuntos, la comprensión del número como una propiedad de aquéllos. Se profundiza para llegar al conocimiento del número natural partiendo de la teoría de los conjuntos (el niño se familiariza antes con los conjuntos que con los números).

Se induce una concepción del número natural como “cardinal de un conjunto finito”.
Se considera necesario, en la progresión del conocimiento escolar, comenzar por las nociones prenuméricas como son las de: conjunto, correspondencia, biyeción, relación, etc.
Cada número se construye como propiedad de una familia de conjuntos coordinables entre sí, no por adición de la unidad al anterior.

Presenta la numeración a partir de distintas bases (base 2, base 5):
El niño se familiariza con los cambios de unidades que después tendrá que hacer en el sistema de numeración decimal e interiorizará, con muchos ejercicios, los distintos agrupamientos en función del sistema de numeración en el que trabaje.

La numeración también se trata como objeto de estudio. Para que los alumnos abstrajesen las propiedades que permanecen constantes (los fundamentos sobre los que se asientan los sistemas de numeración posicionales, se les presentaban actividades en diferentes bases y a través de la manipulación de materiales (multibase de Dienes).


Si comparamos los dias periodos anteriores vemos que antes de 1971, los números se estudian por iteración sucesiva de la unidad (del estudio del número se precisaban las reglas de escritura, las convenciones, sumas, descomposiciones, etc.
Al contrario, después de 1971 son las nociones las que sirven como trama para su prgresión: nociones prenuméricas (clasificación, orden, correspondencia), después la noción de número, y luego numeración y demás operaciones.

A partir de 1992.
En los nuevos diseños curriculares se indican los siguientes contenidos en cuanto al número natural:
- necesidad y funciones del número: contar medir, ordenar, expresar cantidades o particiones.
- Relaciones entre números. Números cardinales y ordinales.
- Sistema de numeración decimal.

Objetivos:- reconocer situaciones en las que existan problemas cuyo tratamiento requiera operaciones elementales de cálculo, formularlos mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los algoritmos correspondientes.
- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración…
- Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.

Se refleja en los textos escolares donde se introducen los números mediante el conteo. “el uno, el siguiente se designa como dos, luego el tres”. Éstos se acompañan de imágenes donde se aprecia que el tres, por ejemplo, se forma con un dos y un uno, y así sucesivamente para todos los primeros números.

¿Qué concepción del número natural promueve ésta presentación?
Los manuales apoyan un conocimiento social, como contar, y promueven la concepción del número natural “counting-number” (Freudenthal, 1983), frente a “cardinal -number”


La numeración como medio para designar los números.
La didáctica que hoy se propone ofrece útiles como es el número y su designación, para su aplicación posterior en la resolución de problemas.

Las orientaciones didácticas facilitadas por los diseños curriculares insisten en un aprendizaje constructivista, mientras que los manuales escolares a un modelo empirista.

Hoy la presentación en los textos tiene mucho en común con la del primer periodo histórico. Brousseau (1996), ante este retorno, considera que “la insuficiencia de conocimientos didácticos impide reformas eficientes en el sistema educativo. En los años 70 y 80 se da un sentido más rico y completo a las situaciones de enseñanza de los números. El conteo acompañaba el aprendizaje, hoy volvemos al aprendizaje de los números sólo por medio del conteo. Rechaza éste retorno de métodos antiguos, la cultura de los profesores ha perdido, por esto, conocimientos útiles y costosamente adquiridos.
Así pues en el análisis didáctico no podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje queremos gestionar.

CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS EN RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA.

1. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados en el medio social y familiar, por lo tanto tendremos en cuenta las experiencias o conocimientos previos de los niños con los números.
2. Debemos buscar situaciones que les permita encontrar razones del ser del número y la numeración, por lo tanto estudiaremos formalmente las funciones de estos conceptos y así construir un conunto de situciones donde la cardinación jueguen una función y tengan significación.
3. Es necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.
4. Para dar significación al número y a la numeración debemos atender a: ¿para qué tenemos necesidad del número y de su designación?

PROCEDIMIENTOS QUE PUEDEN EMPLEAR LOS NIÑOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Resaltamos, entre otros:

1. Correspondencia término a término.
2. Correspondencia subconjunto a subconjunto.
3. Estimación puramente visual.
4. Subitizar.
5. Contar.
6. Recontar.
7. Descontar.
8. Sobrecontar.
9. Procedimientos mixtos.
10. Procedimientos de cálculo.