MODELOS DE APRENDIZAJE
1.- EMPIRISMO: el alumno sólo aprende lo q el profesor explica en clase; la adquisición del conocimiento se produce por acumulación; el maestro y el alumno no deben equivocarse. El error: fracaso; el contenido matemático se registra en el alumno a través del discurso del maestro. Se considera al alumno incapaz de crear conocimiento.
2.- CONSTRUCTIVISTA: el aprendizaje se basa en la acción entendida como construir una solución (anticipación); la adquisición de conocimiento se apoya en procesos de reequilibrio, acomodación, asimilación y equilibrado; se conoce en contra de los conocimientos anteriores; los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo pueden facilitar la adquisición de conocimientos (necesidad de legar a un consenso: implica que el alumno sea más activo cognitivamente y todos participan, aportan información). El aprendizaje no se reduce a una simple memorización.
EL APRENDIZAJE POR ADAPTACIÓN AL MEDIO (modelo constructivista)
Acción
Retroalimentación
Gestión y control
El alumno aprende adaptándose al medio dando nuevas respuestas que son la prueba del aprendizaje. Esta concepción del aprendizaje está muy próxima a la de Piaget: el alumno construye su propio conocimiento y actúa en un medio fuente de desequilibrios. Por ello, las situaciones que el maestro debe proponer deben ser de creación y no de redescubrimiento, es decir, que el alumno pueda vivir.
Según Brousseau (1994), enseñar un conocimiento matemático concreto es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad de creación matemática en el sentido anterior. En consecuencia, “el aprendizaje se considera como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por si mismo y que el maestro sólo debe provocar”.
Para que sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno dé, frente a la pregunta planteada, no sea la que queremos enseñarle: ya que sino sería una situación de aplicación de conocimientos ya aprendidos y no de aprendizaje. La respuesta inicial sólo debe permitir al alumno utilizar una estrategia de base con la ayuda de sus conocimientos anteriores, pero, muy pronto, esta estrategia debe mostrarse lo suficientemente ineficaz como para que el alumno se vea obligado a realizar aconomodaciones para responder a la situación propuesta. Es decir, para adaptarse al medio y no al deseo del maestro.
Desde esta perspectiva, el alumno aprenderá matemáticas, si:
- Entra en el problema, haciéndolo suyo.
- Pone en funcionamiento una estrategia de “base” (defectuosa, insuficiente).
- Trata de superar el desequilibrio y anticipa y emite hipótesis que le permitan:
o Elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento
o Automatizar aquellos que sean solicitados con frecuencia.
o Ejercer un control sobre los resultados.
o Construir con sentido un conocimiento matemático.
LAS VARIABLES DIDÁCTICAS
Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en funcionamiento el alumno (por el coste, por la validez, por la complejidad, etc.)
Es decir, es el elemento de la situación tal que, si actuamos sobre él, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes.
ERRORES Y OBSTÁCULOS
EL error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas del aprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito en otras situaciones, y que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, su origen se constituye en un obstáculo.
Origen de los obstáculos:
1.- Origen epistemológico:
- Siempre se trata de un conocimiento, no de su ausencia.
- Este conocimiento permite producir respuestas correctas en ciertos dominios.
- Este mismo conocimiento produce respuestas erróneas en otros dominios.
- Los errores son persistentes y resistentes a la corrección.
Ejemplo: un niño se equivoca porque no tiene conocimientos suficientes para poder resolver ese problema. Es decir, el niño sabe cosas pero intenta aplicar eso que sabe a otro contexto en el que no sirve.
2.- Origen ontogenético:
- Están ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos.
Ejemplo: los problemas de conservación. Hasta que el niño no tiene una determinada edad no es capaz de comprenderlo por mucho que se insista en que el niño lo aprenda.
3.- Origen didáctico:
- Producidos por las decisiones del profesor o del propio sistema en relación con ciertos conocimientos matemáticos.
Ejemplo: representaciones ostentivas de figuras geométricas.
CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS
Concepción: idea que una persona forma en su mente o concepto que elabora sobre una determinada cosa.
Las concepciones sobre los objetos matemáticos se forman a partir del intercambio entre el conocimiento del alumno y el uso que hace de ellos en distintos problemas y situaciones que se le plantean.
El término concepción del sujeto permite al profesor explicar los comportamientos de los alumnos ante las tareas matemáticas.
El rechazo de una concepción y la adopción de una nueva no se hace por una simple explicación del profesor, sino cuando el alumno se enfrenta a situaciones específicas donde la nueva concepción aparece, bien como solución necesaria y única, bien como solución más económica, más segura, mejor adecuada, óptima para su resolución.
PRINCIPIOS PARA LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES
- Principio de igualdad: grandes expectativas u sólido apoyo para todos los estudiantes.
- Principio curricular: coherencia y buena articulación
- Principio de enseñanza: conocer lo que los alumnos saben y lo que necesitan aprender.
- Principio de aprendizaje: construcción significativa a partir de la experiencia y de los conocimientos previos.
- Principio de evaluación: la evaluación debe apoyar el proceso de E-A.
- Principio tecnológico: la tecnología debe utilizarse como recurso didáctico.
lunes, 16 de junio de 2008
APRAXIA
Definición: Es un trastorno de la eficiencia motriz, el niño no puede realizar algunos gestos o movimientos. Forma parte de un síndrome psicomotor y neurológico.
Para de Renzi (1989): “afección de la capacidad para la ejecución intencionada de movimientos fuera de contexto, en ausencia de déficits sensoriomotores, perceptivos, comprensivos o deterioro mental grave”. Es decir, el sujeto mantiene intactas las potencialidades para realizar correctamente los movimientos, pero es incapaz de hacerlo cuando se le requiere.
Con estas definiciones, como Apraxia en sí, es muy difícil detectar en el colegio, ya que resultará del Diagnóstico diferencial.
Síntomas:
Para poder detectar el trastorno debemos saber que el niño apraxico en el colegio carece de capacidad para ejecutar movimientos, por ejemplo en E.F y no tarda en ponerse en evidencia. Aparece como torpe, lento o inhábil. En dichas clases especiales puede ocurrir:
-que sea el niño incluido en un grupo de competencia, como acompañante de la destreza física.
-que sea el protegido, aquel al que todos perdonan y ayudan.
Observaremos que en el aula tendrá la misma conducta motora inadecuada, será el niño que no logra organizar sus materiales, su mochila, el que no participa de las actividades manuales estéticas y, sobre todo, el niño al que le cuesta mucho el manejo del cuaderno y la escritura.
Diagnóstico
Como maestros investigadores sabremos que nuestro papel es también el seguimiento y evolución de los alumnos, de forma que podemos comenzar con la observación y el registro de alteraciones y limitaciones motoras que el niño posee y que impiden el desarrollo escolar y principalmente el inicio de la lecto-escritura, por lo tanto llegaremos a apreciar las necesidades educativas, incluso podríamos hacer un diagnóstico que esclarecerá qué aspectos prevalecen en la dificultad motora. En caso de detectar una alteración motriz o trastorno notable, sobretodo e áreas como plástica, E.F, música, etc. los profesores pueden diagnosticar:
* Falta de coordinación motriz y lentitud y dificultad motora ( en los movimientos).
* Dificultad en la copia o creación de imágenes escritas (dibujo y escritura).
* Desorganización en los puntos de referencia fundamentales (derecha-izquierda; arriba-abajo).
* Alteraciones del esquema corporal.
Para poder realizar un diagnóstico más fiable puedes observar al niño en las siguientes actividades.
A. CORPORALES:
- Copia de postura y de movimientos coordinados.
- Realización de posturas y movimientos coordinados a partir de una imagen.
- Cumplir ordenes que impliquen el uso de la lateralidad y de las posiciones espaciales, con respecto al propio cuerpo.
- Focalizar las consignas de lateralidad en miembros inferiores y superiores, y a nivel gestual.
- Proponer actividades de ligereza motora con todo el cuerpo, y luego con la destreza motora fina en manos y ojos.
B. GRÁFICOS:
Copia de dibujos y de figuras, Calcado, Punteo, Picado, Pintar, Recortar, Completar claves con limite de tiempo.
La evaluación de estos trastornos de manera es más conveniente que sea secuencial con el fin de percibir las variantes de intensidad individual en la persona. Se han ideado diversas metodologías como la prueba de conexión de números y letras, a veces de manera alterna, el dibujar figuras conocidas, como estrellas o círculos consecutivos, la imitación de mímicas y gestos, simular la manipulación de objetos imaginarios (peinarse, cepillarse los dientes, cortar pan, con tijeras, etc), movimientos sin significado ( determinadas posiciones de los dedos), bucales (soplar una vela imaginaria, toser, etc), entre otros. Estas acciones el examinador, suele pedirlas verbalmente.
El paciente mantiene un nivel adecuado de atención y colaboración, pero es incapaz de hacerlos cuando se le requiere. Esta incapacidad no se debe a una debilidad motora, a akinesia, a reflejo anormales, a u déficit sensorial o a una mala comprensión, sino que es frecuente que el paciente pueda realizar en su vida diaria los movimientos que es incapaz cuando el examinador se lo pide.
Tratamiento:
El tratamiento de estas dificultades motoras dependerá del Diagnóstico diferencial; pero de todas maneras apuntará a la estimulación motriz.
El maestro deberá tener un trato especial en cuanto a las propuestas de consignas motoras corporales o graficas. Evaluará al niño desde otros ámbitos, como pueden ser el verbal. En las clases de educación física participará de la actividad pero se tendrá un trato individualizado para la evaluación, que con ciertas limitaciones se pueden realizar en forma oral.
En cuanto al manejo del pizarrón en niños con grafismos lentos o alterados que requieren de más tiempo y de autocorrección, se sugiere utilizar el pizarrón en secciones con las diferentes actividades, para ir borrando por partes y no retener a todo el grupo por algún rezagado o realizar un trabajo especial individualizado con el niño. En el caso de tener nuevas tecnologías como tablets e internet, sería mucho mejor para ambos. Permitiría al niño descargar actividades enviadas por el profesor y enviárselas vía intranet, etc. así tampoco se pondría en evidencia tan a menudo, la incapacidad motriz del alumno, como supone salir a la pizarra.
Ante el uso del pizarrón en secciones con el niño lento, se le debe alertar y alentar constantemente para marcarle el ritmo y superar su dificultad.
Para de Renzi (1989): “afección de la capacidad para la ejecución intencionada de movimientos fuera de contexto, en ausencia de déficits sensoriomotores, perceptivos, comprensivos o deterioro mental grave”. Es decir, el sujeto mantiene intactas las potencialidades para realizar correctamente los movimientos, pero es incapaz de hacerlo cuando se le requiere.
Con estas definiciones, como Apraxia en sí, es muy difícil detectar en el colegio, ya que resultará del Diagnóstico diferencial.
Síntomas:
Para poder detectar el trastorno debemos saber que el niño apraxico en el colegio carece de capacidad para ejecutar movimientos, por ejemplo en E.F y no tarda en ponerse en evidencia. Aparece como torpe, lento o inhábil. En dichas clases especiales puede ocurrir:
-que sea el niño incluido en un grupo de competencia, como acompañante de la destreza física.
-que sea el protegido, aquel al que todos perdonan y ayudan.
Observaremos que en el aula tendrá la misma conducta motora inadecuada, será el niño que no logra organizar sus materiales, su mochila, el que no participa de las actividades manuales estéticas y, sobre todo, el niño al que le cuesta mucho el manejo del cuaderno y la escritura.
Diagnóstico
Como maestros investigadores sabremos que nuestro papel es también el seguimiento y evolución de los alumnos, de forma que podemos comenzar con la observación y el registro de alteraciones y limitaciones motoras que el niño posee y que impiden el desarrollo escolar y principalmente el inicio de la lecto-escritura, por lo tanto llegaremos a apreciar las necesidades educativas, incluso podríamos hacer un diagnóstico que esclarecerá qué aspectos prevalecen en la dificultad motora. En caso de detectar una alteración motriz o trastorno notable, sobretodo e áreas como plástica, E.F, música, etc. los profesores pueden diagnosticar:
* Falta de coordinación motriz y lentitud y dificultad motora ( en los movimientos).
* Dificultad en la copia o creación de imágenes escritas (dibujo y escritura).
* Desorganización en los puntos de referencia fundamentales (derecha-izquierda; arriba-abajo).
* Alteraciones del esquema corporal.
Para poder realizar un diagnóstico más fiable puedes observar al niño en las siguientes actividades.
A. CORPORALES:
- Copia de postura y de movimientos coordinados.
- Realización de posturas y movimientos coordinados a partir de una imagen.
- Cumplir ordenes que impliquen el uso de la lateralidad y de las posiciones espaciales, con respecto al propio cuerpo.
- Focalizar las consignas de lateralidad en miembros inferiores y superiores, y a nivel gestual.
- Proponer actividades de ligereza motora con todo el cuerpo, y luego con la destreza motora fina en manos y ojos.
B. GRÁFICOS:
Copia de dibujos y de figuras, Calcado, Punteo, Picado, Pintar, Recortar, Completar claves con limite de tiempo.
La evaluación de estos trastornos de manera es más conveniente que sea secuencial con el fin de percibir las variantes de intensidad individual en la persona. Se han ideado diversas metodologías como la prueba de conexión de números y letras, a veces de manera alterna, el dibujar figuras conocidas, como estrellas o círculos consecutivos, la imitación de mímicas y gestos, simular la manipulación de objetos imaginarios (peinarse, cepillarse los dientes, cortar pan, con tijeras, etc), movimientos sin significado ( determinadas posiciones de los dedos), bucales (soplar una vela imaginaria, toser, etc), entre otros. Estas acciones el examinador, suele pedirlas verbalmente.
El paciente mantiene un nivel adecuado de atención y colaboración, pero es incapaz de hacerlos cuando se le requiere. Esta incapacidad no se debe a una debilidad motora, a akinesia, a reflejo anormales, a u déficit sensorial o a una mala comprensión, sino que es frecuente que el paciente pueda realizar en su vida diaria los movimientos que es incapaz cuando el examinador se lo pide.
Tratamiento:
El tratamiento de estas dificultades motoras dependerá del Diagnóstico diferencial; pero de todas maneras apuntará a la estimulación motriz.
El maestro deberá tener un trato especial en cuanto a las propuestas de consignas motoras corporales o graficas. Evaluará al niño desde otros ámbitos, como pueden ser el verbal. En las clases de educación física participará de la actividad pero se tendrá un trato individualizado para la evaluación, que con ciertas limitaciones se pueden realizar en forma oral.
En cuanto al manejo del pizarrón en niños con grafismos lentos o alterados que requieren de más tiempo y de autocorrección, se sugiere utilizar el pizarrón en secciones con las diferentes actividades, para ir borrando por partes y no retener a todo el grupo por algún rezagado o realizar un trabajo especial individualizado con el niño. En el caso de tener nuevas tecnologías como tablets e internet, sería mucho mejor para ambos. Permitiría al niño descargar actividades enviadas por el profesor y enviárselas vía intranet, etc. así tampoco se pondría en evidencia tan a menudo, la incapacidad motriz del alumno, como supone salir a la pizarra.
Ante el uso del pizarrón en secciones con el niño lento, se le debe alertar y alentar constantemente para marcarle el ritmo y superar su dificultad.
MATERIALES PARA LA ADQUISICIÓN DEL NÚMERO.
En el caso de que una de las hipótesis sea el fallo de los niños en la adquisición del concepto de número, existen una serie de materiales diseñados para favorecer el aprendizaje de dicho concepto. Entre otros se encuentran:
El material Dienes – Hull, es el material didáctico más utilizado en la fase prenumérica en actividades de agrupamiento, clasificación y relaciones de cordinabilidad. Consta de 48 piezas de madera o plástico fácilmente manipulables que atienden a 4 atributos: forma, tamaño, color y grosor. Existen varias variantes en el mercado de los bloques lógicos.
En la fase manipulativa, a partir de actividades con los bloques lógicos, el niño los manipula libremente y reconocerá cada bloque, los clasificará atendiendo a un solo criterio (tamaño, forma, color, grosor), los clasificará atendiendo a 2 criterios (forma y tamaño, etc.), realizará seriaciones con distintos criterios, etc.
Son numerosos los materiales didácticos dedicados a ayudar a identificar los números del 0 al 9, a asociar cada numero con la colección de objetos correspondientes, a favorecer la grafía de las cifras, a descubrir la relación de orden entre ellos, a componer y descomponer los números, a facilitar la generalización del concepto de número no asociándolo ni a una sola actividad ni a un solo material, etc. De entre los materiales más significativos se encuentran:
Las regletas de Cuisenaire: consta de un conjunto de regletas de madera de 10 tamaños y 10 colores diferentes, siendo la longitud de 1 a 10 cm y la base de 1 cm2. Todas las regletas de un color tienen la misma longitud y cada una representa un número del 1 al 10 según su longitud.
Se emplean para formar series del 1 al 10, para establecer equivalencias, para comprobar la ordenación de la serie numérica, etc. Basándose en la comparación de longitudes trabajar con las relaciones ser mayor que, etc. Realizar distintas seriaciones, introducir la composición y descomposición de los números, iniciar las 4 operaciones aritméticas de forma manipulativa, comprobar las propiedades de las operaciones aritméticas, etc.
Números de lija.
Números recortables.
Puzzles.
Dominós.
Balanza de operaciones.
El Abaco.
El material Dienes – Hull, es el material didáctico más utilizado en la fase prenumérica en actividades de agrupamiento, clasificación y relaciones de cordinabilidad. Consta de 48 piezas de madera o plástico fácilmente manipulables que atienden a 4 atributos: forma, tamaño, color y grosor. Existen varias variantes en el mercado de los bloques lógicos.
En la fase manipulativa, a partir de actividades con los bloques lógicos, el niño los manipula libremente y reconocerá cada bloque, los clasificará atendiendo a un solo criterio (tamaño, forma, color, grosor), los clasificará atendiendo a 2 criterios (forma y tamaño, etc.), realizará seriaciones con distintos criterios, etc.
Son numerosos los materiales didácticos dedicados a ayudar a identificar los números del 0 al 9, a asociar cada numero con la colección de objetos correspondientes, a favorecer la grafía de las cifras, a descubrir la relación de orden entre ellos, a componer y descomponer los números, a facilitar la generalización del concepto de número no asociándolo ni a una sola actividad ni a un solo material, etc. De entre los materiales más significativos se encuentran:
Las regletas de Cuisenaire: consta de un conjunto de regletas de madera de 10 tamaños y 10 colores diferentes, siendo la longitud de 1 a 10 cm y la base de 1 cm2. Todas las regletas de un color tienen la misma longitud y cada una representa un número del 1 al 10 según su longitud.
Se emplean para formar series del 1 al 10, para establecer equivalencias, para comprobar la ordenación de la serie numérica, etc. Basándose en la comparación de longitudes trabajar con las relaciones ser mayor que, etc. Realizar distintas seriaciones, introducir la composición y descomposición de los números, iniciar las 4 operaciones aritméticas de forma manipulativa, comprobar las propiedades de las operaciones aritméticas, etc.
Números de lija.
Números recortables.
Puzzles.
Dominós.
Balanza de operaciones.
El Abaco.
MATEMÁTICAS ESCOLARES Y COMPETENCIA MATEMÁTICA.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
- Definición: ser competente matemáticamente debe relacionarse con ser capaz de realizar determinadas tareas matemáticas y comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, así como la posibilidad de argumentar la conveniencia de su uso.
- Dimensiones:
1.- Comprensión conceptual: capacidad de relacionar conceptos y procedimientos matemáticos en situaciones de resolución de problemas.
2.- Desarrollo de destrezas procedimentales: uso de procedimientos no mecánicos. Si los alumnos comprenden es más difícil que olviden. Si un alumno memoriza loas pasos de un algoritmo sin comprenderlos pero llega a manejarlo eficazmente, luego resulta muy difícil introducirle en la necesidad de comprender por qué funciona. Cuando las destrezas procedimentales se aprenden de manera aislada, son más fáciles de olvidar o de confundir y por tanto se transmite una concepción de las matemáticas escolares como si fueran recetas y que la única forma de aprenderlas es memorizando.
3.- Comunicar, explicar y argumentar matemáticamente: justificar el proceso, es decir, saber explicar lo realizado para que lo entiendan los demás. El desarrollo de esta capacidad ayuda a los alumnos a desarrollar la comprensión conceptual al ser un contexto en el que se establecen relaciones entre conceptos y procesos y desarrolla las destrezas procedimentales.
4.- Pensamiento estratégico: habilidad de los estudiantes de plantearse, representarse y resolver nuevos problemas. Relacionar diferentes nociones que permiten formular el proceso de construcción
5.- Actitudes positivas hacia la propia capacidad matemática. Confianza en uno mismo: verse a uno mismo capaz de resolver los problemas y ser capaz de aprender matemáticas. Se trata de que los alumnos tengan la posibilidad de aportar algo al proceso para que cojan confianza en sí mismos. El desarrollo de actitudes positivas está vinculado al tipo de oportunidades que el maestro presenta en clase y al tipo de tareas matemáticas que se les demanda. Difícilmente un alumno podrá desarrollar actitudes positivas si el único tipo de problemas y tareas que el profesor plantea son algorítmicas.
TAREA MATEMÁTICA
- Definición: conjunto de ejercicios, actividades, problemas, etc. que el maestro puede plantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemática. Los estudiantes aprenden desde lo que hacen en clase. De ahí la importancia de la tarea que el profesor propone.
Tras la presentación de la tarea se define un contexto en el que interactúand el maestro, el contenido matemático y los alumnos.
EL CONTENIDO MATEMÁTICO EN LAS TAREAS
El contenido matemático visto como instrumento de aprendizaje debe ayudar a resolver problemas de varias maneras. Es determinante a la hora de alcanzar competencia matemática. Los instrumentos que los alumnos usan determinan la forma en que el problema es visto. Las tareas planteadas deben ofrecer la oportunidad a los alumnos de problematizar la situación. Es decir, no hay predefinido un procedimiento que hay que aplicar. Así, la tarea permite que los alumnos busquen diferentes procedimientos y para ello está diseñada para que piensen en un proceso de solución más que en aplicar una receta ya dada.
EL AULA DE MATEMÁTICAS
Debe verse como un sistema en el que todos los elementos que interviene ayudan a caracterizarlo.
Características:
- Soporte para la resolución de la tarea: ofrecer ideas, plantear problemas similares o pedir ideas de otros.
- Tiempo para que los alumnos mejoren sus procedimientos al permitirles escuchar e interpretar las respuestas de sus compañeros.
- Nivel de exigencia. El maestro debe mantener la exigencia de que los alumnos proporciones explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecuada los procedimientos seguidos. Así podrá centrar el contenido de las interacciones entre los alumnos y hacerles reflexionar sobre ideas matemáticas importantes.
NORMAS SOCIOMÉTRICAS
La caracterización del aula de matemáticas como un sistema se apoya en el establecimiento de unas determinadas normas que caracterizan el tipo de interacciones que se dan en ese sistema particular.
Algunas de las normas necesarias para facilitar la adquisición de la competencia matemática son:
- Convencimiento de que las ideas expuestas y los métodos usados deben ser valorados por la clase entera.
- Los alumnos deben poder elegir y compartir diferentes métodos de resolución.
- Los errores son aspectos del proceso de aprender.
- La argumentación y explicación matemática es la que fundamenta el error.
- Definición: ser competente matemáticamente debe relacionarse con ser capaz de realizar determinadas tareas matemáticas y comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, así como la posibilidad de argumentar la conveniencia de su uso.
- Dimensiones:
1.- Comprensión conceptual: capacidad de relacionar conceptos y procedimientos matemáticos en situaciones de resolución de problemas.
2.- Desarrollo de destrezas procedimentales: uso de procedimientos no mecánicos. Si los alumnos comprenden es más difícil que olviden. Si un alumno memoriza loas pasos de un algoritmo sin comprenderlos pero llega a manejarlo eficazmente, luego resulta muy difícil introducirle en la necesidad de comprender por qué funciona. Cuando las destrezas procedimentales se aprenden de manera aislada, son más fáciles de olvidar o de confundir y por tanto se transmite una concepción de las matemáticas escolares como si fueran recetas y que la única forma de aprenderlas es memorizando.
3.- Comunicar, explicar y argumentar matemáticamente: justificar el proceso, es decir, saber explicar lo realizado para que lo entiendan los demás. El desarrollo de esta capacidad ayuda a los alumnos a desarrollar la comprensión conceptual al ser un contexto en el que se establecen relaciones entre conceptos y procesos y desarrolla las destrezas procedimentales.
4.- Pensamiento estratégico: habilidad de los estudiantes de plantearse, representarse y resolver nuevos problemas. Relacionar diferentes nociones que permiten formular el proceso de construcción
5.- Actitudes positivas hacia la propia capacidad matemática. Confianza en uno mismo: verse a uno mismo capaz de resolver los problemas y ser capaz de aprender matemáticas. Se trata de que los alumnos tengan la posibilidad de aportar algo al proceso para que cojan confianza en sí mismos. El desarrollo de actitudes positivas está vinculado al tipo de oportunidades que el maestro presenta en clase y al tipo de tareas matemáticas que se les demanda. Difícilmente un alumno podrá desarrollar actitudes positivas si el único tipo de problemas y tareas que el profesor plantea son algorítmicas.
TAREA MATEMÁTICA
- Definición: conjunto de ejercicios, actividades, problemas, etc. que el maestro puede plantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemática. Los estudiantes aprenden desde lo que hacen en clase. De ahí la importancia de la tarea que el profesor propone.
Tras la presentación de la tarea se define un contexto en el que interactúand el maestro, el contenido matemático y los alumnos.
EL CONTENIDO MATEMÁTICO EN LAS TAREAS
El contenido matemático visto como instrumento de aprendizaje debe ayudar a resolver problemas de varias maneras. Es determinante a la hora de alcanzar competencia matemática. Los instrumentos que los alumnos usan determinan la forma en que el problema es visto. Las tareas planteadas deben ofrecer la oportunidad a los alumnos de problematizar la situación. Es decir, no hay predefinido un procedimiento que hay que aplicar. Así, la tarea permite que los alumnos busquen diferentes procedimientos y para ello está diseñada para que piensen en un proceso de solución más que en aplicar una receta ya dada.
EL AULA DE MATEMÁTICAS
Debe verse como un sistema en el que todos los elementos que interviene ayudan a caracterizarlo.
Características:
- Soporte para la resolución de la tarea: ofrecer ideas, plantear problemas similares o pedir ideas de otros.
- Tiempo para que los alumnos mejoren sus procedimientos al permitirles escuchar e interpretar las respuestas de sus compañeros.
- Nivel de exigencia. El maestro debe mantener la exigencia de que los alumnos proporciones explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecuada los procedimientos seguidos. Así podrá centrar el contenido de las interacciones entre los alumnos y hacerles reflexionar sobre ideas matemáticas importantes.
NORMAS SOCIOMÉTRICAS
La caracterización del aula de matemáticas como un sistema se apoya en el establecimiento de unas determinadas normas que caracterizan el tipo de interacciones que se dan en ese sistema particular.
Algunas de las normas necesarias para facilitar la adquisición de la competencia matemática son:
- Convencimiento de que las ideas expuestas y los métodos usados deben ser valorados por la clase entera.
- Los alumnos deben poder elegir y compartir diferentes métodos de resolución.
- Los errores son aspectos del proceso de aprender.
- La argumentación y explicación matemática es la que fundamenta el error.
miércoles, 4 de junio de 2008
CÁLCULO MATEMÁTICO.
1.Cálculo aritmético
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.[],pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.
1.1Algoritmos
Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema específico.
1.1.1 Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.
Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
Algoritmo de la multiplicación
La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.
Algoritmo de la división
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
1.1.2 Algoritmo de potencias y raíces.
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
Así:
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
Raíces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.
La raíz es la operación inversa de la potencia, donde x se llama "radicando" y n "raiz", tratandose de calcular un número tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez. Como ya vimos en clase, bien es cierto que muchos de nosotros(o al menos yo), no recordamos este algoritmo, y en muchas ocasiones se da especial importancia en su aprendizaje, que como se ve luego se acaba olvidando.
2. Cálculo algebraico
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
3.Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral:
Hablamos de cálculo infinitesimal como rama del análisis constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral, fundamentada en el estudio de los cálculos infinitamente pequeños y de los límites.
El desarrollo y uso del cálculo infinitesimal ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.[],pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.
1.1Algoritmos
Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema específico.
1.1.1 Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.
Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
Algoritmo de la multiplicación
La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.
Algoritmo de la división
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
1.1.2 Algoritmo de potencias y raíces.
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
Así:
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
Raíces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.
La raíz es la operación inversa de la potencia, donde x se llama "radicando" y n "raiz", tratandose de calcular un número tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez. Como ya vimos en clase, bien es cierto que muchos de nosotros(o al menos yo), no recordamos este algoritmo, y en muchas ocasiones se da especial importancia en su aprendizaje, que como se ve luego se acaba olvidando.
2. Cálculo algebraico
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
3.Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral:
Hablamos de cálculo infinitesimal como rama del análisis constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral, fundamentada en el estudio de los cálculos infinitamente pequeños y de los límites.
El desarrollo y uso del cálculo infinitesimal ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
lunes, 2 de junio de 2008
--GARCÍA GALDEANO--
Se trasladó a Zaragoza y continuó con la carrera de Perito Agrimensor tasador de tierras y, a continuación, la de Maestro de primera enseñanza, obteniendo el título de Maestro superior. Obtuvo el Grado de Bachiller se matriculó en la Facultad de Filosofía y Letras , ejerciendo además como profesor particular de matemáticas para contribuir al sostenimiento económico de su madre. Obtenidas ambas licenciaturas, fue nombrado catedrático de Cálculo diferencial en ese mismo año y recibió su doctorado en Ciencias.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
--JOSE DE ECHEGARAY --
Ingeniero de Caminos que destacó como dramaturgo (Premio Nobel de Literatura), político (Ministro de Fomento y de Hacienda) y científico (Presidente de la Academia de Ciencias, de la Sociedad Matemática Española y de la Sociedad Española de Física y Química realizó aportaciones a la física-matemática, influyó en el progreso de nuestra matemática. Introdujo en España la geometría de Chasles, la teoría de Galois, las funciones elípticas…
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
--SIXTO CÁMARA TECEDOR
Estuvo presente en La Asociación Española para el Progreso de las Ciencias, la Sociedad Matemática Española y el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para la Ampliación de Estudios.
Sus trabajos de investigación abarcan diferentes campos de la matemática: geometría sintética, geometría analítica, álgebra, aplicaciones a la balística, estadística y cálculo de probabilidades de cuya introducción en España fue uno de los pioneros.
Fue Catedrático de Geometría analítica de las Universidades de Valencia y Madrid, durante años el nombre de Cámara estuvo asociado a su obra fundamental: Elementos de Geometría Analítica.
Las matemáticas frente a la formación militar.
Su formación militar fue muy escasa, a los 24 años de edad, empezó a estudiar Ciencias Exactas en la Universidad de Zaragoza
obtuvo el grado de Licenciado y alcanzó el grado de Doctor en la Universidad Central de Madrid.
Un año después ascendió a Capitán y cuatro más tarde ganó una plaza de Auxiliar en la Universidad Central , que significó su instalación definitiva en la profesión matemática y el abandono de la militar.
- Aplicación matemática a proyectiles y balas.
Los primeros trabajos están relacionados con su tesis doctoral, realizada en la escuela de geometría sintética. La escuela desarrollaba un tipo de geometría muy teórica, sin fórmulas algebraicas, con escasas aplicaciones prácticas
De matemática aplicada deben calificarse sus trabajos sobre balística, el empleo de la nomografía (reducir los cálculos a la simple lectura de unas tablas gráficas llamadas nomogramas o ábacos) y de métodos estadísticos. Su trabajo más importante: “Estudio gráfico de la curva balística cualquiera que sea la ley de resistencia del aire. Método Pascal”
Cámara estudió la forma en que los proyectiles se agrupan en el blanco, lo que puede ser el origen de su interés por los métodos estadísticos
Aunque explicó otras materias, siempre tuvo una dedicación preferente a la enseñanza de la geometría analítica, editó un resumen autografiado de sus lecciones, la prioridad de la geometría euclidea con el empleó del método vectorial, el uso de los grupos de transformaciones para la presentación de las geometrías y sus invariantes, y la aparición frecuente de aplicaciones a otras ciencias.
Un dramaturgo, politico y científico y además tiene su propia medalla.
Sus trabajos de investigación abarcan diferentes campos de la matemática: geometría sintética, geometría analítica, álgebra, aplicaciones a la balística, estadística y cálculo de probabilidades de cuya introducción en España fue uno de los pioneros.
Fue Catedrático de Geometría analítica de las Universidades de Valencia y Madrid, durante años el nombre de Cámara estuvo asociado a su obra fundamental: Elementos de Geometría Analítica.
Las matemáticas frente a la formación militar.
Su formación militar fue muy escasa, a los 24 años de edad, empezó a estudiar Ciencias Exactas en la Universidad de Zaragoza
obtuvo el grado de Licenciado y alcanzó el grado de Doctor en la Universidad Central de Madrid.
Un año después ascendió a Capitán y cuatro más tarde ganó una plaza de Auxiliar en la Universidad Central , que significó su instalación definitiva en la profesión matemática y el abandono de la militar.
- Aplicación matemática a proyectiles y balas.
Los primeros trabajos están relacionados con su tesis doctoral, realizada en la escuela de geometría sintética. La escuela desarrollaba un tipo de geometría muy teórica, sin fórmulas algebraicas, con escasas aplicaciones prácticas
De matemática aplicada deben calificarse sus trabajos sobre balística, el empleo de la nomografía (reducir los cálculos a la simple lectura de unas tablas gráficas llamadas nomogramas o ábacos) y de métodos estadísticos. Su trabajo más importante: “Estudio gráfico de la curva balística cualquiera que sea la ley de resistencia del aire. Método Pascal”
Cámara estudió la forma en que los proyectiles se agrupan en el blanco, lo que puede ser el origen de su interés por los métodos estadísticos
Aunque explicó otras materias, siempre tuvo una dedicación preferente a la enseñanza de la geometría analítica, editó un resumen autografiado de sus lecciones, la prioridad de la geometría euclidea con el empleó del método vectorial, el uso de los grupos de transformaciones para la presentación de las geometrías y sus invariantes, y la aparición frecuente de aplicaciones a otras ciencias.
Un dramaturgo, politico y científico y además tiene su propia medalla.
--JOSE BARINAGA MATA--
Licenciado, doctorado y catedrático, rotas sus inquietudes por una guerra:
Fue alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid. En la Revista de la Sociedad Matemática Española muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales
- una etapa llena de reconocimientos y méritos.
Tras licenciarse en matemáticas cursa el doctorado y en 1929 defiende su tesis y gana el primer premio extraordinario de doctorado
Fue auxiliar de Análisis Matemático 2º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 gana la Cátedra de Análisis Matemático 1º y 2º cursos de la Universidad de Barcelona.
En 1931 gana la cátedra de Análisis Matemático 1º de la Universidad Central de Madrid
Fue colaborador en los coloquios matemáticos organizados por el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones
Durante la guerra civil Barinaga se hizo cargo de la dirección del Laboratorio y permaneció al frente del mismo hasta su desaparición; pasó toda la guerra en Madrid, fiel al legítimo gobierno de la República.
A sus 49 años comenzó a ganarse la vida en la enseñanza privada, en las academias preparatorias de su juventud, y así durante casi siete años, hasta su rehabilitación en 1946. Catorce años, hasta su jubilación en 1960
Durante años contribuyó en la nueva revista de estudiantes bajo el título de Matemática Elemental (1931-36). Su implicación en la Sociedad Matemática Española corría pareja a su integración en el Laboratorio y Seminario Matemático
Fue alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid. En la Revista de la Sociedad Matemática Española muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales
- una etapa llena de reconocimientos y méritos.
Tras licenciarse en matemáticas cursa el doctorado y en 1929 defiende su tesis y gana el primer premio extraordinario de doctorado
Fue auxiliar de Análisis Matemático 2º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 gana la Cátedra de Análisis Matemático 1º y 2º cursos de la Universidad de Barcelona.
En 1931 gana la cátedra de Análisis Matemático 1º de la Universidad Central de Madrid
Fue colaborador en los coloquios matemáticos organizados por el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones
Durante la guerra civil Barinaga se hizo cargo de la dirección del Laboratorio y permaneció al frente del mismo hasta su desaparición; pasó toda la guerra en Madrid, fiel al legítimo gobierno de la República.
A sus 49 años comenzó a ganarse la vida en la enseñanza privada, en las academias preparatorias de su juventud, y así durante casi siete años, hasta su rehabilitación en 1946. Catorce años, hasta su jubilación en 1960
Durante años contribuyó en la nueva revista de estudiantes bajo el título de Matemática Elemental (1931-36). Su implicación en la Sociedad Matemática Española corría pareja a su integración en el Laboratorio y Seminario Matemático
La matemática en el sector aeronáutico.
En los últimos años hemos asistido a una revolución en el diseño externo que abarca, desde el sector aeronáutico hasta el naval, pasando por la automoción. Esta revolución ha llegado incluso al mundo del deporte.
Elementos menos sofisticados, a priori, como pueden ser los cascos de los ciclistas y el vestuario empleado por los motociclistas de competición, han evolucionado hasta lograr un diseño óptimo aerodinámico que permite al deportista mejorar su rendimiento disminuyendo, a su vez, su esfuerzo y resistencia.
La ardua tarea de los matemáticos en este campo no sólo se centra en la invención de las máquinas en sí, sino además en su diseño óptimo.
El proceso de optimización del diseño se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento de un objeto sólido (el casco o la bicicleta) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance. En los aviones, los vehículos o los barcos se emplean procedimientos similares, teniendo en cuenta las peculiaridades de cada objeto y su medio. Dependiendo del objetivo final a optimizar, variará la denominada “función objetivo”. De esta forma, se puede optimizar la velocidad, la estabilidad del objeto o el gasto de combustible, entre otras posibilidades.
En este sentido, el concepto clave es la optimización o el denominado diseño óptimo, término empleado para designar la investigación de la forma externa de la aeronave que resulte aerodinámicamente más eficiente, dentro de unas determinadas restricciones estructurales. De esta manera, se puede concluir que la disminución de la resistencia al avance de un avión en el aire es un factor clave en la optimización de la forma de la superficie de las aeronaves.
La resistencia al avance se calcula numéricamente mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y, posteriormente y mediante métodos de optimización, se localiza la forma del avión que minimiza la resistencia cumpliendo otros requisitos geométricos y físicos.
En la actualidad, prácticamente todo el proceso de optimización se realiza mediante el empleo del ordenador, por lo que su grado de automatización es muy elevado. A pesar de ello, no se puede prescindir del obligado y costoso paso por el túnel de viento, que se emplea para validar el comportamiento de los diseños identificados como prometedores mediante la simulación computacional. El origen de esta metodología de diseño se remonta a los años 70, en los que comenzó a plantearse el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD en sus siglas inglesas) como herramienta de diseño. Desde entonces, la CFD ha ido adquiriendo una importancia creciente gracias, en gran medida, al desarrollo de algoritmos numéricos cada vez más eficaces y al crecimiento exponencial de la capacidad de cálculo a precios razonables. La aplicación de la teoría matemática del control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales ha permitido crear las condiciones adecuadas para la formulación y resolución de problemas de diseño aerodinámico con un coste computacional asumible.
Generalmente, las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados métodos basados en los gradientes que, de forma resumida, se sistematizan de la siguiente manera:
1. Se define un conjunto de variables de diseño que parametrizan la forma externa de la aeronave.
2. Se define una función objetivo o función coste apropiada. En la práctica suele ser un parámetro numérico cuyo valor se quiere optimizar. La elección de la función objetivo es crucial, pues de ella depende, en gran medida, que se pueda encontrar una configuración óptima. Las funciones objetivo más habituales son: la resistencia al avance de la aeronave, la sustentación del aeroplano y parámetros globales de eficiencia
3. Se calcula el gradiente de la función objetivo con respecto a las variables de diseño. Con dicho gradiente se determina la combinación de variaciones de las variables de diseño que dan lugar a una mejora en el valor de la función objetivo y se deforma la geometría en consecuencia. Este proceso se repite hasta alcanzar una configuración que minimice la función objetivo planteada.
La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación. Los gradientes se calculan entonces como el cociente entre la variación de la función objetivo y la variación de la variable de diseño correspondiente. Desgraciadamente, este procedimiento requiere una simulación numérica del flujo de aire para cada variable de diseño, por lo que si su número es elevado (tal y como sucede normalmente), el coste computacional resulta inasumible, ya que cada simulación, en problemas complejos pero realistas, puede requerir varios días de cómputo en máquinas de alto rendimiento.
La Teoría del Control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales proporciona una solución a los problemas anteriormente planteados. Esta Teoría, desarrollada a partir de los trabajos del matemático francés J.-L. Lions [2], entre otros, se emplea para el cálculo indirecto de los gradientes a partir de la resolución de la denominada ecuación adjunta. El coste computacional requerido para obtener los gradientes de la función objetivo en cada variable de diseño resulta despreciable frente al coste de una simulación del flujo, por lo que dicho coste es, a efectos prácticos, independiente del número de variables de diseño, siendo equivalente al coste de una simulación de flujo y de una resolución numérica de la ecuación adjunta (ecuación lineal y, por tanto de menor complejidad). Esta metodología fue aplicada por primera vez al diseño de perfiles aerodinámicos (secciones de alas) en régimen transónico por A. Jameson, profesor de las Universidades de Pricenton y Stanford, en 1988 [3]. Desde entonces, se ha progresado notablemente en la aplicación de estas técnicas al diseño de aeronaves completas, proporcionando diseños optimizados de alas, configuraciones ala-fuselaje, superficies de cola, góndolas de motores, turbomaquinaria, etcétera.
En la actualidad, los esfuerzos se centran en temas como la mejora de la eficiencia de estos métodos de diseño mediante la búsqueda de algoritmos numéricos eficaces para la resolución de las ecuaciones adjuntas, en un análisis más fino del proceso de optimización en presencia de ondas de choque, en profundizar en el conocimiento y aplicación de la teoría de control al cálculo de gradientes de funciones objetivo de interés aeronáutico, y, por último, en el desarrollo de métodos matemáticos de optimización alternativos, como el uso de derivadas topológicas, las técnicas de level sets, homogeneización, la optimización multiobjetivo y los algoritmos genéticos, entre otros.
Elementos menos sofisticados, a priori, como pueden ser los cascos de los ciclistas y el vestuario empleado por los motociclistas de competición, han evolucionado hasta lograr un diseño óptimo aerodinámico que permite al deportista mejorar su rendimiento disminuyendo, a su vez, su esfuerzo y resistencia.
La ardua tarea de los matemáticos en este campo no sólo se centra en la invención de las máquinas en sí, sino además en su diseño óptimo.
El proceso de optimización del diseño se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento de un objeto sólido (el casco o la bicicleta) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance. En los aviones, los vehículos o los barcos se emplean procedimientos similares, teniendo en cuenta las peculiaridades de cada objeto y su medio. Dependiendo del objetivo final a optimizar, variará la denominada “función objetivo”. De esta forma, se puede optimizar la velocidad, la estabilidad del objeto o el gasto de combustible, entre otras posibilidades.
En este sentido, el concepto clave es la optimización o el denominado diseño óptimo, término empleado para designar la investigación de la forma externa de la aeronave que resulte aerodinámicamente más eficiente, dentro de unas determinadas restricciones estructurales. De esta manera, se puede concluir que la disminución de la resistencia al avance de un avión en el aire es un factor clave en la optimización de la forma de la superficie de las aeronaves.
La resistencia al avance se calcula numéricamente mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y, posteriormente y mediante métodos de optimización, se localiza la forma del avión que minimiza la resistencia cumpliendo otros requisitos geométricos y físicos.
En la actualidad, prácticamente todo el proceso de optimización se realiza mediante el empleo del ordenador, por lo que su grado de automatización es muy elevado. A pesar de ello, no se puede prescindir del obligado y costoso paso por el túnel de viento, que se emplea para validar el comportamiento de los diseños identificados como prometedores mediante la simulación computacional. El origen de esta metodología de diseño se remonta a los años 70, en los que comenzó a plantearse el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD en sus siglas inglesas) como herramienta de diseño. Desde entonces, la CFD ha ido adquiriendo una importancia creciente gracias, en gran medida, al desarrollo de algoritmos numéricos cada vez más eficaces y al crecimiento exponencial de la capacidad de cálculo a precios razonables. La aplicación de la teoría matemática del control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales ha permitido crear las condiciones adecuadas para la formulación y resolución de problemas de diseño aerodinámico con un coste computacional asumible.
Generalmente, las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados métodos basados en los gradientes que, de forma resumida, se sistematizan de la siguiente manera:
1. Se define un conjunto de variables de diseño que parametrizan la forma externa de la aeronave.
2. Se define una función objetivo o función coste apropiada. En la práctica suele ser un parámetro numérico cuyo valor se quiere optimizar. La elección de la función objetivo es crucial, pues de ella depende, en gran medida, que se pueda encontrar una configuración óptima. Las funciones objetivo más habituales son: la resistencia al avance de la aeronave, la sustentación del aeroplano y parámetros globales de eficiencia
3. Se calcula el gradiente de la función objetivo con respecto a las variables de diseño. Con dicho gradiente se determina la combinación de variaciones de las variables de diseño que dan lugar a una mejora en el valor de la función objetivo y se deforma la geometría en consecuencia. Este proceso se repite hasta alcanzar una configuración que minimice la función objetivo planteada.
La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación. Los gradientes se calculan entonces como el cociente entre la variación de la función objetivo y la variación de la variable de diseño correspondiente. Desgraciadamente, este procedimiento requiere una simulación numérica del flujo de aire para cada variable de diseño, por lo que si su número es elevado (tal y como sucede normalmente), el coste computacional resulta inasumible, ya que cada simulación, en problemas complejos pero realistas, puede requerir varios días de cómputo en máquinas de alto rendimiento.
La Teoría del Control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales proporciona una solución a los problemas anteriormente planteados. Esta Teoría, desarrollada a partir de los trabajos del matemático francés J.-L. Lions [2], entre otros, se emplea para el cálculo indirecto de los gradientes a partir de la resolución de la denominada ecuación adjunta. El coste computacional requerido para obtener los gradientes de la función objetivo en cada variable de diseño resulta despreciable frente al coste de una simulación del flujo, por lo que dicho coste es, a efectos prácticos, independiente del número de variables de diseño, siendo equivalente al coste de una simulación de flujo y de una resolución numérica de la ecuación adjunta (ecuación lineal y, por tanto de menor complejidad). Esta metodología fue aplicada por primera vez al diseño de perfiles aerodinámicos (secciones de alas) en régimen transónico por A. Jameson, profesor de las Universidades de Pricenton y Stanford, en 1988 [3]. Desde entonces, se ha progresado notablemente en la aplicación de estas técnicas al diseño de aeronaves completas, proporcionando diseños optimizados de alas, configuraciones ala-fuselaje, superficies de cola, góndolas de motores, turbomaquinaria, etcétera.
En la actualidad, los esfuerzos se centran en temas como la mejora de la eficiencia de estos métodos de diseño mediante la búsqueda de algoritmos numéricos eficaces para la resolución de las ecuaciones adjuntas, en un análisis más fino del proceso de optimización en presencia de ondas de choque, en profundizar en el conocimiento y aplicación de la teoría de control al cálculo de gradientes de funciones objetivo de interés aeronáutico, y, por último, en el desarrollo de métodos matemáticos de optimización alternativos, como el uso de derivadas topológicas, las técnicas de level sets, homogeneización, la optimización multiobjetivo y los algoritmos genéticos, entre otros.
PROGRAMACIÓN DE ORDENADORES.
LOS ORDENADORES Y LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL
¿Qué es un ordenador? ¿Deben forzosamente estar construidos con componentes electrónicos? ¿Que es la inteligencia? ¿Puede razonar una máquina? ¿Puede pensar una máquina? ¿Cuáles son los límites de la computación? ¿Pueden llegar a comprender los lenguajes que utilizan los humanos? ¿Son los humanos una implantación de la idea de ordenador? ¿Qué cambios sociales implica la aparición de internet?
Algunas respuestas vienen de la rama conocida como "computability", otras del campo de la "Inteligencia Artificial". La primera rama aporta los Fundamentos Matemáticos de la Computación. Probablemente sea Alan Mathison Turing la figura mas conocida en este campo.
El mundo de la informática actual es un mundo de "capas". Cada capa es una combinación de hardware/software, experimento/teoría, que se apoya en otra más interior.
Por encima de la tecnología, y basándose en ella, se sitúa la disciplina que estudia su construcción: la arquitectura de ordenadores. Precursores ilustres de ésta área fueron Leibnitz, Pascal, Babbage, Zuse y von Neumann. Las matemáticas son la base de todo descubrimiento científico.
La aparición de los microprocesadores (St. Clair, Kilby) y la comercialización de las microcomputadores (la familia Intel, los IBM PC) han hecho posible la espectacular difusión a la que hemos asistido en el último cuarto de siglo.
Los sistemas operativos constituyen la siguiente capa. Unix y Windows son los mas conocidos. Los nombres vinculados a ésta área incluyen entre otros a Dennis M. Ritchie, Kenneth Thompson, B. Hansen, Tanembaum, B. Gates y Linus Benedict Torvalds.
Los lenguajes de programación y las herramientas software permiten la construcción de las aplicaciones que todos conocemos. La teoría y la práctica en este campo deben mucho a K. Zuse, John Backus, Grace Hopper, D. Ritchie, B. Kernighan, N. Wirth, John McCarthy, Alain Colmerauer, Phillip Roussel y Bjarne Stroustrup.
Los ordenadores se comunican entre sí a través de redes. Estas pueden ser de área local o de área extensa. La aparición de internet como red universal, global, ha incrementado la capacidad de servicio y de relación de las instituciones y los individuos. Esta aparición también afecta de forma esencial al concepto mismo de ordenador y a la aparición de un nuevo concepto: la "grid".
¿Qué es un ordenador? ¿Deben forzosamente estar construidos con componentes electrónicos? ¿Que es la inteligencia? ¿Puede razonar una máquina? ¿Puede pensar una máquina? ¿Cuáles son los límites de la computación? ¿Pueden llegar a comprender los lenguajes que utilizan los humanos? ¿Son los humanos una implantación de la idea de ordenador? ¿Qué cambios sociales implica la aparición de internet?
Algunas respuestas vienen de la rama conocida como "computability", otras del campo de la "Inteligencia Artificial". La primera rama aporta los Fundamentos Matemáticos de la Computación. Probablemente sea Alan Mathison Turing la figura mas conocida en este campo.
El mundo de la informática actual es un mundo de "capas". Cada capa es una combinación de hardware/software, experimento/teoría, que se apoya en otra más interior.
Por encima de la tecnología, y basándose en ella, se sitúa la disciplina que estudia su construcción: la arquitectura de ordenadores. Precursores ilustres de ésta área fueron Leibnitz, Pascal, Babbage, Zuse y von Neumann. Las matemáticas son la base de todo descubrimiento científico.
La aparición de los microprocesadores (St. Clair, Kilby) y la comercialización de las microcomputadores (la familia Intel, los IBM PC) han hecho posible la espectacular difusión a la que hemos asistido en el último cuarto de siglo.
Los sistemas operativos constituyen la siguiente capa. Unix y Windows son los mas conocidos. Los nombres vinculados a ésta área incluyen entre otros a Dennis M. Ritchie, Kenneth Thompson, B. Hansen, Tanembaum, B. Gates y Linus Benedict Torvalds.
Los lenguajes de programación y las herramientas software permiten la construcción de las aplicaciones que todos conocemos. La teoría y la práctica en este campo deben mucho a K. Zuse, John Backus, Grace Hopper, D. Ritchie, B. Kernighan, N. Wirth, John McCarthy, Alain Colmerauer, Phillip Roussel y Bjarne Stroustrup.
Los ordenadores se comunican entre sí a través de redes. Estas pueden ser de área local o de área extensa. La aparición de internet como red universal, global, ha incrementado la capacidad de servicio y de relación de las instituciones y los individuos. Esta aparición también afecta de forma esencial al concepto mismo de ordenador y a la aparición de un nuevo concepto: la "grid".
LAS MATEMÁTICAS DEL ADN.
LA CONCURRENCIA DE BIOLOGÍA Y MATEMÁTICAS HA PERMITIDO GRANDES AVANCES.
DE LA NUCLEÍNA AL LABORATORIO CAVENDISH de Cambridge.
El 25 de Abril de 1953 la revista Nature publicó un artículo titulado “Molecular structure of nucleic acids, el descubrimiento del ADN, uno de los hallazgos más impactantes del siglo XX, considerado el principio de la biología molecular.
Hace 50 años, un grupo de científicos propuso un modelo para el código de la vida, la molécula del ADN (ácido desoxirribonucleico). Esta molécula contiene la información y las instrucciones, en un lenguaje químico, para crear a todos y cada uno de los seres que han habitado, habitan y habitarán en este planeta.
La polémica acerca de la naturaleza del material genético de la célula: ¿proteínas ó ácidos nucleicos? Durante éste dilatado período de tiempo cabe citar varios hitos en el largo camino de la investigación proclive a los ácidos nucleicos. El primero viene de la mano de Frederick Griffith y sus experimentos con neumococos, que determinaron la existencia de un factor capaz de transformar las formas inocuas de los neumococos en formas virulentas. Este factor fue finalmente identificado por Avery, Macleod y McCarty en 1944: se trataba del ADN. Este descubrimiento, de extraordinaria relevancia científica, daría lugar a que diversos grupos de investigación, entre los que destacó el denominado "grupo del fago", retomaran con fuerza el proceso que concluiría con el establecimiento de la estructura de la molécula del ADN.
El descubrimiento de la estructura fue logrado por cuatro científicos: Maurice Wilkins, James Watson y Francis Crick, y por Rosalind Franklin. Propusieron un modelo que describía la estructura molecular del ADN en la conocida forma de doble hélice, y además, la manera de obtener copias exactas de sí misma. Describen a molécula de ADN como una pareja de hebras que se entrelazan helicoidalmente en torno a un eje común.
La observación de que las bases están presentes en diferentes cantidades en el ADN de diferentes especies llevó al concepto de que la secuencia de bases es la forma en la cual la información genética es transportada.
Existen 3 evidencias que llevaron a Watson y Crick (en 1953) a la construcción del modelo de la doble hélice del ADN:
1.- La difracción de rayos X muestra que el ADN tiene una forma de hélice regular, teniendo una vuelta casa 34 Å (3.4 nm) con un diámetro de aproximadamente 20 Å (2 nm). De acuerdo a lo anterior, debe tener 10 nucleótidos por vuelta.
2.- La densidad del ADN sugiere que la hélice debe contener cadenas de polinucleótidos. El diámetro constante de la hélice puede ser explicado si las bases de cada cara de la cadena están hacia adentro y están restringidas de tal manera que las purinas están siempre opuestas a las pirimidinas, evitando así los pares purina-purina o pirimidina-pirimidina.
3.- La proporción de G es siempre la misma que la de C en el ADN y las proporciones de A son siempre las mismas que las de T. De tal forma que la composición de cualquier ADN puede ser descrita por la proporción de sus bases C+G la cual varia entre 26 y 74 % dependiendo de la especie.
Watson y Crick propusieron que las dos cadenas de polinucléotidos en la doble hélice están asociadas por puentes de hidrógeno entre las bases nitrogenadas:
La siguiente figura muestra que usualmente, G solo puede hacer puentes de hidrógeno con G, por el contrario, A solo puede unirse con T. Estas reacciones se describen como pares de bases y las bases apareadas (G con C y A con T) son complementarias.
Sabias que…
* Si todo el ADN del cuerpo humano fuera puesto en fila haría 600 veces el trayecto entre la tierra y el sol.
* El ADN es el archivo en el que están almacenadas las instrucciones que necesita un ser para nacer y reproducirse.
*El ADN es una doble cadena. Cada cadena es una hilera de cuatro bases o letras (G: Guanina, A: Adenina, T: Tinina y C: Citosina).
*Las cuatro letras del ADN llevan las instrucciones para hacer todos los organismos. Cada bloque de letras corresponde a un aminoácido.
* La mayor parte del ADN (más de un 95%) en el Genoma Humano no tiene función conocida y se considera ADN basura.
*Entre una persona y otra el ADN difiere sólo en un 0,2%.
DE LA NUCLEÍNA AL LABORATORIO CAVENDISH de Cambridge.
El 25 de Abril de 1953 la revista Nature publicó un artículo titulado “Molecular structure of nucleic acids, el descubrimiento del ADN, uno de los hallazgos más impactantes del siglo XX, considerado el principio de la biología molecular.
Hace 50 años, un grupo de científicos propuso un modelo para el código de la vida, la molécula del ADN (ácido desoxirribonucleico). Esta molécula contiene la información y las instrucciones, en un lenguaje químico, para crear a todos y cada uno de los seres que han habitado, habitan y habitarán en este planeta.
La polémica acerca de la naturaleza del material genético de la célula: ¿proteínas ó ácidos nucleicos? Durante éste dilatado período de tiempo cabe citar varios hitos en el largo camino de la investigación proclive a los ácidos nucleicos. El primero viene de la mano de Frederick Griffith y sus experimentos con neumococos, que determinaron la existencia de un factor capaz de transformar las formas inocuas de los neumococos en formas virulentas. Este factor fue finalmente identificado por Avery, Macleod y McCarty en 1944: se trataba del ADN. Este descubrimiento, de extraordinaria relevancia científica, daría lugar a que diversos grupos de investigación, entre los que destacó el denominado "grupo del fago", retomaran con fuerza el proceso que concluiría con el establecimiento de la estructura de la molécula del ADN.
El descubrimiento de la estructura fue logrado por cuatro científicos: Maurice Wilkins, James Watson y Francis Crick, y por Rosalind Franklin. Propusieron un modelo que describía la estructura molecular del ADN en la conocida forma de doble hélice, y además, la manera de obtener copias exactas de sí misma. Describen a molécula de ADN como una pareja de hebras que se entrelazan helicoidalmente en torno a un eje común.
La observación de que las bases están presentes en diferentes cantidades en el ADN de diferentes especies llevó al concepto de que la secuencia de bases es la forma en la cual la información genética es transportada.
Existen 3 evidencias que llevaron a Watson y Crick (en 1953) a la construcción del modelo de la doble hélice del ADN:
1.- La difracción de rayos X muestra que el ADN tiene una forma de hélice regular, teniendo una vuelta casa 34 Å (3.4 nm) con un diámetro de aproximadamente 20 Å (2 nm). De acuerdo a lo anterior, debe tener 10 nucleótidos por vuelta.
2.- La densidad del ADN sugiere que la hélice debe contener cadenas de polinucleótidos. El diámetro constante de la hélice puede ser explicado si las bases de cada cara de la cadena están hacia adentro y están restringidas de tal manera que las purinas están siempre opuestas a las pirimidinas, evitando así los pares purina-purina o pirimidina-pirimidina.
3.- La proporción de G es siempre la misma que la de C en el ADN y las proporciones de A son siempre las mismas que las de T. De tal forma que la composición de cualquier ADN puede ser descrita por la proporción de sus bases C+G la cual varia entre 26 y 74 % dependiendo de la especie.
Watson y Crick propusieron que las dos cadenas de polinucléotidos en la doble hélice están asociadas por puentes de hidrógeno entre las bases nitrogenadas:
La siguiente figura muestra que usualmente, G solo puede hacer puentes de hidrógeno con G, por el contrario, A solo puede unirse con T. Estas reacciones se describen como pares de bases y las bases apareadas (G con C y A con T) son complementarias.
Sabias que…
* Si todo el ADN del cuerpo humano fuera puesto en fila haría 600 veces el trayecto entre la tierra y el sol.
* El ADN es el archivo en el que están almacenadas las instrucciones que necesita un ser para nacer y reproducirse.
*El ADN es una doble cadena. Cada cadena es una hilera de cuatro bases o letras (G: Guanina, A: Adenina, T: Tinina y C: Citosina).
*Las cuatro letras del ADN llevan las instrucciones para hacer todos los organismos. Cada bloque de letras corresponde a un aminoácido.
* La mayor parte del ADN (más de un 95%) en el Genoma Humano no tiene función conocida y se considera ADN basura.
*Entre una persona y otra el ADN difiere sólo en un 0,2%.
Las series de Taylor, un asunto de vida o muerte
Saber matemáticas puede convertirse en un asunto de vida o
Muerte.
Durante la Revolución Rusa, el físico-matemático Igor Tamm fue capturado por los vigilantes anti-comunistas en un pueblo cercano a Odessa a donde él había ido a conseguir comida. Ellos sospecharon que era un agitador comunista anti-Ukraniano y lo llevaron ante su líder.
Cuando le preguntaron que hacía él para ganarse la vida, el contestó que era matemático. El escéptico líder de la banda mientras pensaba qué hacer empezó a jugar con la mano sobre las balas y granadas que tenía alrededor del cuello. “De acuerdo” –dijo finalmente- “calcula el error de la aproximación de la serie de Taylor de una función cuando es truncada en el término n-ésimo. Si contesta correctamente te pondremos en libertad, pero falla y te fusilaremos”.Tamm cuidadosamente calculó la respuesta sobre el polvo del suelo y escribiendo con su dedo. Cuando terminó, el bandido revisó lo escrito y le dejó marchar.
Tamm ganó el premio Nobel de Física en 1958, pero nunca descubrió la identidad de ese extraño bandido. Sin embargo, encontró un argumento para convencer a sus estudiantes sobre la importancia práctica de saber Matemáticas!
EL NACIMIENTO DE LAS MEDALLAS FIELDS
LOS PREMIOS NOBEL
Los premios Nobel han sido fundados por Alfred Nobel , al redactar su testamento en 1895. Originariamente eran cinco (Física, Química, Fisiología y Medicina, Literatura, y Paz), entregados por primera vez en 1901; posteriormente, en 1968, el Banco Central de Suecia creó el de Ciencias Económicas en memoria de Nobel (siendo entregado por primera vez en 1969).
• Los premios de Física y Química son concedidos por la Academia Sueca de las Ciencias.
• El de Medicina y Fisiología, por el instituto Karolinska de Estocolmo.
• El de Literatura, por la Academia Sueca.
• El de la Paz, por una comisión de cinco miembros elegidos por el Storting noruego.
• El de Economía por el Banco Central de Suecia.
¿Y que pasa con el galardón para las Matemáticas?
Entre matemáticos, se dice que la esposa del honorable Alfred Nobel, le engañó con un matemático de la época, Mittag-Leffler. Según se dice, la venganza ha sido dejar escrito en su testamento que nunca se creara una asignación de premio Nobel de Matemáticas.
Pero esta historia es insostenible, entre otras cosas porque en dicho testamento no figura ninguna referencia a las Matemáticas, aunque esto sea un hecho de por sí un tanto extraño. Además, dicho engaño resulta imposible ya que Alfred Nobel nunca se casó, aunque si tuvo un desengaño amoroso con Bertha Kinsky, la única mujer que realmente le llegó al corazón y que le abandonó por el varón Arthur Von Suttner.
Lo que es cierto, es que en la fecha en que Nobel escribió su testamento, ya existía un importante premio para matemáticos, el Premio Escandinavo de Matemáticas, que concedía el Rey, y Nobel, buen súbdito, no quiso entrar en competición con su monarca. Por otro lado, también cabe pensar, que muchas otras ramas de la sabiduría humana tampoco fueron incluidas en los premios Nobel, lo que nos lleva a preguntarnos
¿por que las matemáticas tendrían que haber tenido su asignación?.
Quizás a Alfred Nobel no le pareció oportuno crear ese galardón, y por ello los matemáticos como tal, nunca han obtenido un premio Nobel por su labor en el universo de las matemáticas, lo cual no quiere decir que ningún matemático haya sido galardonado con un premio Nobel, si bien en otra de las variedades existentes.
Más de una treintena de matemáticos han obtenido el Nobel, basándose en sus trabajos matemáticos, pero implicándolos finalmente en disciplinas como Economía, Física o Química. Entre ellos podemos nombrar a Schrödinger, Bohr y Lorentz. Otros lo han obtenido en una disciplina como la Literatura, como Bertrand Russell en 1950, o el español José Echegaray, que se convirtió así en el primer español que obtuvo un Nobel.
Entre 1908 y 1910 se formó la Real Sociedad Matemática Española con el apoyo de Echegaray y del general Benítez. Rey Pastor fue principal impulsor.
Ahora bien, ya que los matemáticos nunca han optado a premio Nobel por su labor en su disciplina, al igual que el resto de pensadores que no optan a premio Nobel, crearon sus propios premios.
Los más conocidos, son las Medallas Fields. Este premio siempre ha sido definido como el premio Nobel de Matemáticas, además de que entre ambos galardones hay ciertas coincidencias, tales como que los dos sirvan como reconocimiento a la labor científica de calidad excepcional a nivel internacional, o que ambos premios deben su existencia al legado de las personas que se les da nombre.
Las Medallas Fields deben su nombre a John Charles Fields, matemático canadiense (1863) Fields recibió importantes honores a lo largo de su vida. Fue elegido miembro de la Royal Society of Canada en 1907, y en 1913 de la Royal Society of London.
John Fields fue presidente del VII Congreso Internacional de Matemáticas (séptimo ICM) que en 1924 se llevó a cabo en Toronto. Al término de este congreso, el comité organizador vio que tenía un superávit, y Fields propuso dedicarlo para financiar un premio internacional de matemáticas (dos medallas otorgadas en reconocimiento a la labor matemática)
LA GRAN CONSECUENCIA DE UN TESTAMENTO
A su muerte, en el testamento de Fields estaba escrito que se legara su herencia para financiar este premio, tal y como ocurrió con el dictado testamentario de Alfred Nobel. Con motivo de la tragedia que supuso a nivel internacional la Primera Guerra Mundial, a los matemáticos de los países perdedores no se les permitía formar parte de la International Mathematical Union creada en 1923 y por ello no pudieron asistir al Congreso de 1924 en Toronto, lo que dejó ver, que no todas las decisiones eran tomadas simplemente bajo criterios científicos.
Por ello Fields sugirió que los premios deberían otorgarse a nivel internacional y sin vincular este premio a ningún país, persona o institución, y aunque se conozcan como Medallas Fields, su nombre es el de Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas.
Otra propuesta de Fields fue que los galardonados fueran gente joven (no especificó edad), para animar futuros logros y como estímulo a ello, de ahí, la tradición de no premiar a mayores de cuarenta años en el momento de la concesión, regla no escrita, pero que nunca ha sido violada.
El jurado, es designado entre dos congresos consecutivos por el comité ejecutivo de la Unión Internacional de Matemáticas, y su composición se mantiene en secreto hasta la concesión de las medallas. Desde 1936, y con periodicidad de cuatro años desde 1950 (durante la Segunda Guerra Mundial no se entregaron), se ha otorgado este premio a aquellas personas que han destacado en su área, reconociendo así su logro sobresaliente en Matemáticas.
En 1966 se aumentó el número de medallas concedidas inicialmente, de dos, a cuatro premiados en cada congreso, debido a la gran expansión en la investigación matemática.
En su testamento quedó plasmado como debían ser otorgadas las medallas y que deberían contener cada una por lo menos un valor de 200 dólares en oro y ésta debería ser de un tamaño de 7,5 centímetros de diámetro. Al ser de carácter internacional, el idioma empleado fuera el latín o el griego. Las medallas deben tener un carácter completamente internacional e impersonal si fuera posible. No se deben vincular al nombre de ningún país, institución o persona.
Los premios Nobel han sido fundados por Alfred Nobel , al redactar su testamento en 1895. Originariamente eran cinco (Física, Química, Fisiología y Medicina, Literatura, y Paz), entregados por primera vez en 1901; posteriormente, en 1968, el Banco Central de Suecia creó el de Ciencias Económicas en memoria de Nobel (siendo entregado por primera vez en 1969).
• Los premios de Física y Química son concedidos por la Academia Sueca de las Ciencias.
• El de Medicina y Fisiología, por el instituto Karolinska de Estocolmo.
• El de Literatura, por la Academia Sueca.
• El de la Paz, por una comisión de cinco miembros elegidos por el Storting noruego.
• El de Economía por el Banco Central de Suecia.
¿Y que pasa con el galardón para las Matemáticas?
Entre matemáticos, se dice que la esposa del honorable Alfred Nobel, le engañó con un matemático de la época, Mittag-Leffler. Según se dice, la venganza ha sido dejar escrito en su testamento que nunca se creara una asignación de premio Nobel de Matemáticas.
Pero esta historia es insostenible, entre otras cosas porque en dicho testamento no figura ninguna referencia a las Matemáticas, aunque esto sea un hecho de por sí un tanto extraño. Además, dicho engaño resulta imposible ya que Alfred Nobel nunca se casó, aunque si tuvo un desengaño amoroso con Bertha Kinsky, la única mujer que realmente le llegó al corazón y que le abandonó por el varón Arthur Von Suttner.
Lo que es cierto, es que en la fecha en que Nobel escribió su testamento, ya existía un importante premio para matemáticos, el Premio Escandinavo de Matemáticas, que concedía el Rey, y Nobel, buen súbdito, no quiso entrar en competición con su monarca. Por otro lado, también cabe pensar, que muchas otras ramas de la sabiduría humana tampoco fueron incluidas en los premios Nobel, lo que nos lleva a preguntarnos
¿por que las matemáticas tendrían que haber tenido su asignación?.
Quizás a Alfred Nobel no le pareció oportuno crear ese galardón, y por ello los matemáticos como tal, nunca han obtenido un premio Nobel por su labor en el universo de las matemáticas, lo cual no quiere decir que ningún matemático haya sido galardonado con un premio Nobel, si bien en otra de las variedades existentes.
Más de una treintena de matemáticos han obtenido el Nobel, basándose en sus trabajos matemáticos, pero implicándolos finalmente en disciplinas como Economía, Física o Química. Entre ellos podemos nombrar a Schrödinger, Bohr y Lorentz. Otros lo han obtenido en una disciplina como la Literatura, como Bertrand Russell en 1950, o el español José Echegaray, que se convirtió así en el primer español que obtuvo un Nobel.
Entre 1908 y 1910 se formó la Real Sociedad Matemática Española con el apoyo de Echegaray y del general Benítez. Rey Pastor fue principal impulsor.
Ahora bien, ya que los matemáticos nunca han optado a premio Nobel por su labor en su disciplina, al igual que el resto de pensadores que no optan a premio Nobel, crearon sus propios premios.
Los más conocidos, son las Medallas Fields. Este premio siempre ha sido definido como el premio Nobel de Matemáticas, además de que entre ambos galardones hay ciertas coincidencias, tales como que los dos sirvan como reconocimiento a la labor científica de calidad excepcional a nivel internacional, o que ambos premios deben su existencia al legado de las personas que se les da nombre.
Las Medallas Fields deben su nombre a John Charles Fields, matemático canadiense (1863) Fields recibió importantes honores a lo largo de su vida. Fue elegido miembro de la Royal Society of Canada en 1907, y en 1913 de la Royal Society of London.
John Fields fue presidente del VII Congreso Internacional de Matemáticas (séptimo ICM) que en 1924 se llevó a cabo en Toronto. Al término de este congreso, el comité organizador vio que tenía un superávit, y Fields propuso dedicarlo para financiar un premio internacional de matemáticas (dos medallas otorgadas en reconocimiento a la labor matemática)
LA GRAN CONSECUENCIA DE UN TESTAMENTO
A su muerte, en el testamento de Fields estaba escrito que se legara su herencia para financiar este premio, tal y como ocurrió con el dictado testamentario de Alfred Nobel. Con motivo de la tragedia que supuso a nivel internacional la Primera Guerra Mundial, a los matemáticos de los países perdedores no se les permitía formar parte de la International Mathematical Union creada en 1923 y por ello no pudieron asistir al Congreso de 1924 en Toronto, lo que dejó ver, que no todas las decisiones eran tomadas simplemente bajo criterios científicos.
Por ello Fields sugirió que los premios deberían otorgarse a nivel internacional y sin vincular este premio a ningún país, persona o institución, y aunque se conozcan como Medallas Fields, su nombre es el de Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas.
Otra propuesta de Fields fue que los galardonados fueran gente joven (no especificó edad), para animar futuros logros y como estímulo a ello, de ahí, la tradición de no premiar a mayores de cuarenta años en el momento de la concesión, regla no escrita, pero que nunca ha sido violada.
El jurado, es designado entre dos congresos consecutivos por el comité ejecutivo de la Unión Internacional de Matemáticas, y su composición se mantiene en secreto hasta la concesión de las medallas. Desde 1936, y con periodicidad de cuatro años desde 1950 (durante la Segunda Guerra Mundial no se entregaron), se ha otorgado este premio a aquellas personas que han destacado en su área, reconociendo así su logro sobresaliente en Matemáticas.
En 1966 se aumentó el número de medallas concedidas inicialmente, de dos, a cuatro premiados en cada congreso, debido a la gran expansión en la investigación matemática.
En su testamento quedó plasmado como debían ser otorgadas las medallas y que deberían contener cada una por lo menos un valor de 200 dólares en oro y ésta debería ser de un tamaño de 7,5 centímetros de diámetro. Al ser de carácter internacional, el idioma empleado fuera el latín o el griego. Las medallas deben tener un carácter completamente internacional e impersonal si fuera posible. No se deben vincular al nombre de ningún país, institución o persona.
El propio desafío de Jacob Bernoulli.
“HONOR, ALABANZA Y APLAUSO”
Jakob Bernouilli (1654-1705), miembro de una familia de matemáticos un tanto peculiar, hasta el unto de ser conocida por continuas disputas entre ellos. A pesar de ello, de las más destacadas familias científicas originaria de los países bajos.
Escribió un curioso e importante tratado sobre cálculo de probabilidades titulado Ars conjectandi, que se publicó ocho años después de su muerte. A Jakob Bernouilli se le debe el estudio de la distribución binomial.
Propuso en 1696 como desafío «a todos los matemáticos del mundo» el problema de la braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en una misma vertical), con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo.
Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J.Bernouilli.
Jakob Bernouilli (1654-1705), miembro de una familia de matemáticos un tanto peculiar, hasta el unto de ser conocida por continuas disputas entre ellos. A pesar de ello, de las más destacadas familias científicas originaria de los países bajos.
Escribió un curioso e importante tratado sobre cálculo de probabilidades titulado Ars conjectandi, que se publicó ocho años después de su muerte. A Jakob Bernouilli se le debe el estudio de la distribución binomial.
Propuso en 1696 como desafío «a todos los matemáticos del mundo» el problema de la braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en una misma vertical), con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo.
Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J.Bernouilli.
PROYECTO DIDÁCTICO (BLOG).
Aquí os presento el origen, por así decirlo, de este blog. Se trata de un proyecto didáctico de la asignatura de Matemáticas y su Didáctica II, donde nosotros, los alumnos, como forma de trabajar las tics, debemos crear nuestro propio blog con lo qeu vamos aprendiendo. Existen dos formas de trabajo en función de la situación que tengas como alumno. Es preciso recordar que el día 16 de Junio el profesor lo guardará como archivo de datos y sólo evaluará lo introducido hasta dicha fecha.
Descripción del trabajo a realizar
El proyecto didáctico del curso 2007-2008 -obligatorio para todos los alumnos matriculados en la asignatura- consistirá en la elaboración de un Blog didáctico-matemático personal de acuerdo con las siguientes instrucciones y premisas:
1.- Crea tu propio blog en http://www.blogger.com/, para lo cual puedes apoyarte en los tutoriales que acompañan a la tarea así como en el manual que se adjunta en el apartado Recursos. Si lo consideras oportuno puedes emplear cualquier otro servicio de creación de blogs, si bien éste es relativamente sencillo y muy completo.
2.- Edita y publica artículos (entradas, posts, etc.) de acuerdo con las siguientes premisas:
CASO 1: Alumnos que están desarrollando el Taller de Creatividad Matemática, van a realizar este año el Practicum II o desarrollan cualquier otro tipo de actividad -profesional o académica- que les permita la interacción didáctico-matemática con niños.
Tus artículos deberán recoger, principalmente, tus experiencias más relevantes en el aula de matemáticas, las cuales no deberán limitarse a una mera descripción de hechos, sino que deberán ir acompañadas de reflexiones y análisis didácticos, permitiendo establecer puentes claros entre teoría y práctica.
Junto a los artículos anteriores puedes incluir cualesquiera otros que consideres oportunos para facilitar la formación didáctico-matemática de un maestro (artículos de divulgación, notas de prensa relacionadas con la enseñanza de las matemáticas, artículos de opinión...)
Puedes incluir imágenes, vídeos, enlaces...
CASO 2: Alumnos que van a realizar este año el Practicum I o que no mantienen relación directa con niños en un contexto didáctico-matemático.
Tus artículos se basarán en recopilaciones de experiencias interesantes en el aula de matemáticas extraídas de distintas fuentes tales como artículos de revistas de didáctica, expertos o páginas web. Estas experiencias deberán ir acompañadas de reflexiones y análisis didácticos, permitiendo establecer puentes claros entre teoría y práctica.
Junto a los artículos anteriores puedes incluir cualesquiera otros que consideres oportunos para facilitar la formación didáctico-matemática de un maestro (artículos de divulgación, notas de prensa relacionadas con la enseñanza de las matemáticas, artículos de opinión...)
Asimismo, deberás abordar en tu blog al menos uno de los grandes debates que actualmente aborda la Didáctica de la Matemática (informe PISA, algoritmos de lápiz y papel para las cuatro operaciones aritméticas básicas ¿sí o no?, etc.)
Puedes incluir imágenes, vídeos, enlaces...
3.- Inserta la dirección de tu blog de Blogger en tu blog de Moodle. Éste será el único contenido de la única entrada que ha de tener este último blog, por lo que deberás eliminar el contenido introducido previamente al inicio del curso.
4.- Accede a los blogs de tus compañeros y suscríbete a los mismos.
5- Revisa la configuración de la gestión de comentarios, permitiendo que todos tus compañeros puedan comentar las entradas de tu blog.
6.- Revisa la configuración de Archivo, Correo electrónico, y Permisos, publicando entradas mediante el correo electrónico.
7.- Añade al menos un elemento feed a tu blog (Plantilla->añadir un elemento de página)
Descripción del trabajo a realizar
El proyecto didáctico del curso 2007-2008 -obligatorio para todos los alumnos matriculados en la asignatura- consistirá en la elaboración de un Blog didáctico-matemático personal de acuerdo con las siguientes instrucciones y premisas:
1.- Crea tu propio blog en http://www.blogger.com/, para lo cual puedes apoyarte en los tutoriales que acompañan a la tarea así como en el manual que se adjunta en el apartado Recursos. Si lo consideras oportuno puedes emplear cualquier otro servicio de creación de blogs, si bien éste es relativamente sencillo y muy completo.
2.- Edita y publica artículos (entradas, posts, etc.) de acuerdo con las siguientes premisas:
CASO 1: Alumnos que están desarrollando el Taller de Creatividad Matemática, van a realizar este año el Practicum II o desarrollan cualquier otro tipo de actividad -profesional o académica- que les permita la interacción didáctico-matemática con niños.
Tus artículos deberán recoger, principalmente, tus experiencias más relevantes en el aula de matemáticas, las cuales no deberán limitarse a una mera descripción de hechos, sino que deberán ir acompañadas de reflexiones y análisis didácticos, permitiendo establecer puentes claros entre teoría y práctica.
Junto a los artículos anteriores puedes incluir cualesquiera otros que consideres oportunos para facilitar la formación didáctico-matemática de un maestro (artículos de divulgación, notas de prensa relacionadas con la enseñanza de las matemáticas, artículos de opinión...)
Puedes incluir imágenes, vídeos, enlaces...
CASO 2: Alumnos que van a realizar este año el Practicum I o que no mantienen relación directa con niños en un contexto didáctico-matemático.
Tus artículos se basarán en recopilaciones de experiencias interesantes en el aula de matemáticas extraídas de distintas fuentes tales como artículos de revistas de didáctica, expertos o páginas web. Estas experiencias deberán ir acompañadas de reflexiones y análisis didácticos, permitiendo establecer puentes claros entre teoría y práctica.
Junto a los artículos anteriores puedes incluir cualesquiera otros que consideres oportunos para facilitar la formación didáctico-matemática de un maestro (artículos de divulgación, notas de prensa relacionadas con la enseñanza de las matemáticas, artículos de opinión...)
Asimismo, deberás abordar en tu blog al menos uno de los grandes debates que actualmente aborda la Didáctica de la Matemática (informe PISA, algoritmos de lápiz y papel para las cuatro operaciones aritméticas básicas ¿sí o no?, etc.)
Puedes incluir imágenes, vídeos, enlaces...
3.- Inserta la dirección de tu blog de Blogger en tu blog de Moodle. Éste será el único contenido de la única entrada que ha de tener este último blog, por lo que deberás eliminar el contenido introducido previamente al inicio del curso.
4.- Accede a los blogs de tus compañeros y suscríbete a los mismos.
5- Revisa la configuración de la gestión de comentarios, permitiendo que todos tus compañeros puedan comentar las entradas de tu blog.
6.- Revisa la configuración de Archivo, Correo electrónico, y Permisos, publicando entradas mediante el correo electrónico.
7.- Añade al menos un elemento feed a tu blog (Plantilla->añadir un elemento de página)
Y. Nievergelt
“El precio elástico de la demanda: juego, heroína, marihuana, whisky, prostitución y pescado”.
En 1987, el profesor norteamericano Yves Nievergelt publicó en un interesante pero negativo artículo donde realizaba el preciso análisis de un modelo matemático aplicado a ciertos mercados económicos. En su mayoría de artículos matemáticos dedicados a la economía suelen incidir en temas de intereses bancarios, pensiones, seguros, índices de precios… y ahorros, muchos ahorros. Sin embargo, el artículo del profesor Nievergelt, no.
E l profesor Nievergelt presta atención a ejemplos poco frecuentes, situaciones insólitas, incluyendo datos de difícil obtención. Cualquier lector interesado podrá encontrar en el artículo de Nievergelt referencias que nunca se atrevería a reunir por sí mismo “por temor a su entorno familiar y social”. De hecho, cualquier persona, al leer el artículo nunca se atrevería a dejar que otras personas pudieran ver que lo está leyendo. El título del artículo al cual nos estamos refiriendo: “El precio elástico de la demanda: juego, heroína, marihuana, whisky, prostitución y pescado”.
En 1987, el profesor norteamericano Yves Nievergelt publicó en un interesante pero negativo artículo donde realizaba el preciso análisis de un modelo matemático aplicado a ciertos mercados económicos. En su mayoría de artículos matemáticos dedicados a la economía suelen incidir en temas de intereses bancarios, pensiones, seguros, índices de precios… y ahorros, muchos ahorros. Sin embargo, el artículo del profesor Nievergelt, no.
E l profesor Nievergelt presta atención a ejemplos poco frecuentes, situaciones insólitas, incluyendo datos de difícil obtención. Cualquier lector interesado podrá encontrar en el artículo de Nievergelt referencias que nunca se atrevería a reunir por sí mismo “por temor a su entorno familiar y social”. De hecho, cualquier persona, al leer el artículo nunca se atrevería a dejar que otras personas pudieran ver que lo está leyendo. El título del artículo al cual nos estamos refiriendo: “El precio elástico de la demanda: juego, heroína, marihuana, whisky, prostitución y pescado”.
Gödel, ciudadano americano
Gödel vivió mucho tiempo en Estados Unidos. En el momento de adquirir la nacionalidad americana tuvo que responder a una serie de preguntas muy sencillas acerca de la Constitución, así podría demostrar un conocimiento mínimo y general de su contenido y manifestar su consideración hacia ella. Por otra parte, necesitaba dos avalistas que respondieran de su reputación y le acompañaran al examen oral ante un juez local.
Gödel tenía unos padrinos de lujo, Albert Einsyein, que entonces no necesita presentación alguna, y Oskar Morgenstern, economista matemático y coinventor, junto con John von Neumann, de la “teoría del juego. Ante la inestabilidad y falta de sentido común que había demostrado Gödel durante el periodo previo a esta simple entrevista, cuenta Einstein que había ido aumentando su preocupación y la del propio Morgenstern.
Parece ser que Gödel llamó a Morgenstern la tarde anterior para explicarle que había encontrado un resquicio en el entramado de la Constitución que permitía la instauración de una dictadura.
Morgenstern le aconsejó y de alguna manera le prohibió mencionarlo en la entrevista bajo ningún concepto. Dijo que era completamente absurdo. Cuando llegó la tan esperada cita, Einstein y Morgenstern intentaron desviar la atención de Gödel para evitar que pensara en lo que le rondaba la cabeza e impedir así que se le escapara algún chiste inconveniente o alguna anécdota fuera de lugar: confiaban en que se limitaría a presentarse, dar las respuestas de rigor y los tópicos resabidos y marchar con la nacionalidad bajo el brazo. El siguiente relato de John Casti sobre cómo discurrió la entrevista confirma que las sospechas de los dos testigos no eran infundadas:
“Durante la misma, el juez quedó gratamente impresionado por la brillante personalidad y reputación pública de los testigos de Gödel, y rompió con la tradición al invitarles a sentarse el tiempo que durara la entrevista. El juez empezó por comentar a Gödel: ‘Hasta ahora, usted ha tenido nacionalidad alemana’. Gödel corrigió esta ligera ofensa, haciendo notar que era austríaco. Impasible, su señoría prosiguió: ‘De todos modos, su país tuvo que sufrir una dictadura horrible… pero afortunadamente eso no puede suceder en América’. Al oír la palabra mágica, ‘dictadura’ Gödel no pudo contenerse y gritó: ‘¡Todo lo contrario!, ¡yo sé cómo puede suceder eso, puedo probarlo!’. Calmarle y evitar que siguiera adelante con la explicación extensa y detallada de su ‘descubrimiento’ requirió no sólo los esfuerzos de Einstein y Morgenstern, sino también los del juez”.
jueves, 29 de mayo de 2008
Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Vida:
Nació en el año 1170 en la ciudad de Pisa (actual Italia) y murió en el año 1250 en esa misma ciudad.
Es conocido por su apodo “Fibonacci”, y se hacía llamar a sí mismo "Bigollo" que quiere decir "bueno para nada".
Su padre fue el que el que le enseñó la aritmética y le animó a que estudiara matemáticas.
Hacia 1225 era reconocido como uno de los mejores matemáticos, y personas de distintas cortes y comercios le pedían asesoría.
Fue el matemático más original y hábil de toda la época medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para ser bien comprendidos.
Obra:
Fue un autentico especialista en aritmética y en los distintos sistemas de numeración, y estaba convencido de que el sistema hindú era superior a los demás.
Estudio las matemáticas y las formas más practicas de aplicarlas como un instrumento importante para que el comercio se desarrollara.
Creó la sucesión de Fibonacci, y llevó la aritmética a Europa y la saco de los monasterios que es donde se desarrollaba.
Gottfried Wilhelm Von Leibniz
Vida:
Nació en julio de 1646 en Leipzig y murió en noviembre de 1716.
Estudio leyes y filosofía.
Su educación se realizó gracias a la lectura de la biblioteca de su padre, que era filosofo y sentía devoción por la lógica aristotélica.
Obra:
Leibniz descubrió el cálculo independientemente de Newton y su notación es la que se usa hoy.
Inventó el sistema binario que es el que utilizan los ordenadores.
Anticipó nociones que aparecieron años mas tarde como: la teoría de probabilidades y descubrió el calculo diferencial y el infinitesimal.
Creó una maquina de calcular que podía calcular las 4 operaciones aritméticas básicas.
Abu Jafar Mohamet Al-Jwarizmi
Vida:
Nació en el año 780 en Jwarizm (actual Jiva) y murió en el año 835.
Vivió en la corte del califa Mamún y trabajó durante mucho tiempo en la academia de ciencias llamada “La Casa de la Sabiduría” dónde desempeñó como matemático y bibliotecario. De esta academia salió la primera expedición que realizaron los árabes para calcular la circunferencia de la Tierra, en la que Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo.
Es considerado uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media.
Obra:
Es considerado el padre del Álgebra
Su tratado más importante se llama "Al - jabar wa´l Muqabala”, que habla sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones para poder resolver problemas de la vida diaria, como para que se pueda llevar a cabo el comercio o la construcción de pozos,etc.
Nació en el año 780 en Jwarizm (actual Jiva) y murió en el año 835.
Vivió en la corte del califa Mamún y trabajó durante mucho tiempo en la academia de ciencias llamada “La Casa de la Sabiduría” dónde desempeñó como matemático y bibliotecario. De esta academia salió la primera expedición que realizaron los árabes para calcular la circunferencia de la Tierra, en la que Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo.
Es considerado uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media.
Obra:
Es considerado el padre del Álgebra
Su tratado más importante se llama "Al - jabar wa´l Muqabala”, que habla sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones para poder resolver problemas de la vida diaria, como para que se pueda llevar a cabo el comercio o la construcción de pozos,etc.
ARQUÍMEDES
Vida:
Nació en Siracusa, Sicilia, en el año 287 a.c., y murió en el 212 a.c.
Estudió matemáticas bajo la dirección de Euclides.
Su muerte: un soldado lo encontró abstraído en la resolución de algún problema. Creyendo que los brillantes instrumentos que portaba eran de oro o irritado porque no contestaba a sus preguntas, le atravesó con su espada quitándole la vida.
Conocido también por su frase: ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo encontré!).
Principio de Arquímedes: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.
Para él, su mayor descubrimiento fue demostrar que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe, descubrimiento que pidió que fuera grabado en su tumba.
Obra:
Descubrió la relación entre la circunferencia y su diámetro, relación que se designa hoy día con la letra griega Π (pi).
Demostró que el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio de dicho círculo; así como que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo.
Se anticipó al descubrimiento del cálculo integral con sus estudios acerca de las áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas.
Realizó un exhaustivo estudio de la espiral uniforme, conocida como espiral de Arquímedes.
Creó un sistema numérico posicional para escribir números muy grandes.
Admite sin demostrar los siguientes principios :
1. " La línea recta es la más corta entre 2 puntos."
2. " De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra".- ó como diríamos ahora " es mayor la línea circundante que la circundada".
3. " De 2 superficies que pasan por una misma curva cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es mayor la exterior."
LEONARD EULER
Vida:
Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia.
Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.
Estuvo a punto de abandonar toda esperanza de una carrera intelectual y alistarse en la marina rusa.
Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro. Pasó los últimos años de su vida ciego, y era su hijo quién le escribía sus trabajos.
Su talento natural para las matemáticas se evidenció pronto por el afán y la facilidad con que dominaba los elementos.
Efectuó, en tres días, la resolución de un problema que la Academia necesitaba urgentemente, pese a que se le juzgaba insoluble en menos de varios meses de labor.
Obra:
Poseía una asombrosa facilidad para los números y el raro don de realizar mentalmente cálculos de largo alcance.
Fue el primero en emplear la notación f(x) e introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios.
Problema de los puentes de Königsber: demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse. Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos.
Desarrolló la característica de Euler o teorema de poliedros de Euler: buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros.
Descubrió que tres de los puntos notables de un triángulo (baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta ("Recta de Euler“).
PIERRE DE FERMAT.
Vida:
Nació en Francia en el año 1602 y murió allí también en el año 1665.
Es un destacado matemático y es conocido por su “Enigma”, una abstracción del teorema de Pitágoras, que torturó a los matemáticos durante 350 años aprox., hasta que fue resuelto en 1995.
Líder matemático de la primera mitad del siglo XVII que estaba acostumbrado a escribir las soluciones en el margen de los libros.
Obra:
Desarrolló el calculo moderno, hizo contribuciones a la geometría analítica y fue co-fundador, junto con Blaise Pascal, de la teoría de probabilidades.
Creó la espiral de Fermat, también conocida como espiral parabólica y enunció el principio de Fermat y su último teorema.
Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.
Nació en Francia en el año 1602 y murió allí también en el año 1665.
Es un destacado matemático y es conocido por su “Enigma”, una abstracción del teorema de Pitágoras, que torturó a los matemáticos durante 350 años aprox., hasta que fue resuelto en 1995.
Líder matemático de la primera mitad del siglo XVII que estaba acostumbrado a escribir las soluciones en el margen de los libros.
Obra:
Desarrolló el calculo moderno, hizo contribuciones a la geometría analítica y fue co-fundador, junto con Blaise Pascal, de la teoría de probabilidades.
Creó la espiral de Fermat, también conocida como espiral parabólica y enunció el principio de Fermat y su último teorema.
Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.
BARROW
Vida:
Nació en 1630 en Londres, y murió en 1677 en ese mismo lugar.
Editó trabajos de Euclides y Arquímedes usando su destreza en matemáticas
Realizo un gran número de conferencias a las que asistía Newton y escribió textos llamados: lecciones ópticas y lecciones geométricas.
En 1660 fue nombrado para enseñar Griego en Cambridge. Con la finalidad de aumentar sus ingresos que eran bajos aceptó también el nombramiento para enseñar geometría en el colegio Gresham de Londres.
El rey Charles II le otorgó la posición del mejor erudito de Inglaterra.
Obra:
Barrow desarrolló un método de determinación de tangentes, que encierran aproximados métodos de cálculo, y fue el primero en reconocer que la integración y la diferenciación son dos operaciones inversas.
NEWTON
Vida:
Nació el 4 de enero de 1643 en Inglaterra, y murió el 31 de marzo de 1727.
El matemático Joseph Louis Lagrange dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija al mundo.“
Nunca asistió regularmente a sus clases ya que su principal interés era la biblioteca
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten.
Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.
Padeció durante sus últimos años diversos problemas renales, sufriendo uno de los cuales murió.
Fue enterrado en la abadía de Westminster junto a los grandes hombres de Inglaterra.
Obra:
Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones.
Había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.
Nació el 4 de enero de 1643 en Inglaterra, y murió el 31 de marzo de 1727.
El matemático Joseph Louis Lagrange dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija al mundo.“
Nunca asistió regularmente a sus clases ya que su principal interés era la biblioteca
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten.
Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.
Padeció durante sus últimos años diversos problemas renales, sufriendo uno de los cuales murió.
Fue enterrado en la abadía de Westminster junto a los grandes hombres de Inglaterra.
Obra:
Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones.
Había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.
GALOIS
Vida:
Nació en Francia el 25 de octubre de 1811, y murió el 31 de mayo de 1832.
Muchos consideran que fue un niño prodigio de las matemáticas.
Estudió la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange, profundizando considerablemente en el estudio del álgebra. Descuidó las otras materias, atrayendo hostilidad de los profesores de humanidades.
Recibió un disparo en el abdomen y murió. Sus últimas palabras a su hermano Alfredo fueron: "¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a la edad de 20 años."
Obra:
Su primer trabajo fue una demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas.
Dio con la clave para resolver un problema que había traído en jaque a los matemáticos durante más de un siglo: las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales.
Sus avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de la teoría de grupos.
A pesar de su corta edad, llegó más lejos que ningún otro matemático en el campo del álgebra relacionado con la resolución de ecuaciones polinómicas.
Nació en Francia el 25 de octubre de 1811, y murió el 31 de mayo de 1832.
Muchos consideran que fue un niño prodigio de las matemáticas.
Estudió la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange, profundizando considerablemente en el estudio del álgebra. Descuidó las otras materias, atrayendo hostilidad de los profesores de humanidades.
Recibió un disparo en el abdomen y murió. Sus últimas palabras a su hermano Alfredo fueron: "¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a la edad de 20 años."
Obra:
Su primer trabajo fue una demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas.
Dio con la clave para resolver un problema que había traído en jaque a los matemáticos durante más de un siglo: las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales.
Sus avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de la teoría de grupos.
A pesar de su corta edad, llegó más lejos que ningún otro matemático en el campo del álgebra relacionado con la resolución de ecuaciones polinómicas.
RUFFINI
Vida:
Nace el 22 de septiembre en 1765 en Valentano, Estados Pontificios (hoy Italia).
En 1783 inicia sus estudios de matemáticas, medicina y literatura en la Universidad de Modena.
En junio de 1788 se gradúa en filosofía, medicina y cirugía. Un poco más tarde se gradúa en matemáticas.
Es nombrado profesor de Elementos de Matemáticas en la Universidad de Modena en 1791. Se le concede la licencia para practicar la medicina.
Obra
Desde el siglo XVI, se sabía que las ecuaciones polinómicas de grado inferior a cinco eran resolubles por radicales. ¿Podía afirmarse lo mismo de las ecuaciones de grado superior? Esta cuestión mantuvo ocupado a Paolo Ruffini durante buena parte de su vida, hasta que al final, consiguió dar con su “regla de Ruffini”.
Nace el 22 de septiembre en 1765 en Valentano, Estados Pontificios (hoy Italia).
En 1783 inicia sus estudios de matemáticas, medicina y literatura en la Universidad de Modena.
En junio de 1788 se gradúa en filosofía, medicina y cirugía. Un poco más tarde se gradúa en matemáticas.
Es nombrado profesor de Elementos de Matemáticas en la Universidad de Modena en 1791. Se le concede la licencia para practicar la medicina.
Obra
Desde el siglo XVI, se sabía que las ecuaciones polinómicas de grado inferior a cinco eran resolubles por radicales. ¿Podía afirmarse lo mismo de las ecuaciones de grado superior? Esta cuestión mantuvo ocupado a Paolo Ruffini durante buena parte de su vida, hasta que al final, consiguió dar con su “regla de Ruffini”.
EL MODELO DE G. POLYA
FASE 1: Comprensiones-^^Comprensión verbal . ¿Os acordáis de lo primero que debíamos hacer a la hora de aborar un problema?
Lectura global previa a las distintas lecturas parciales.
De la lectura al significado: variables de contenido y de contexto
Variables de contexto: formato de presentación y escenario.
Variables de contenido:
-Tema matemático.
-campo de aplicación.
-Contenido semántico (palabras clave)
* términos propios de la terminología matemática
* términos que expresan relacione.
* otros términos (conectivos, verbos…)con influencia clara en la comprensión del problema y en la resolución del mismo.
- Tipo de problema.
-Material, equipo o recursos necesarios.
Lectura global previa a las distintas lecturas parciales.
De la lectura al significado: variables de contenido y de contexto
Variables de contexto: formato de presentación y escenario.
Variables de contenido:
-Tema matemático.
-campo de aplicación.
-Contenido semántico (palabras clave)
* términos propios de la terminología matemática
* términos que expresan relacione.
* otros términos (conectivos, verbos…)con influencia clara en la comprensión del problema y en la resolución del mismo.
- Tipo de problema.
-Material, equipo o recursos necesarios.
miércoles, 28 de mayo de 2008
EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.
El Jurista Pierre de Fermat (1601-1665), fundador de la teoría de los números no consiguió que sus trabajos fuesen publicados en vida.
Uno de sus trabajos ha llegado a ser uno de los enunciados más famosos de la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat.
Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener."
Esta demostración siempre ha sido un enigma para muchos matemáticosha sido desde siempre objeto de sospecha. Se dice que estaba equivocado y que carecía de tal demostración.
Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Cien años más tarde Euler publicó una demostración errónea Para n=3. En 1825, Dirichlet y Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo <100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970 para n hasta 30.000 y poco después hasta 125.000. En 1854 la Existía una recompensa de 300.000 francos de oro y una medalla que ofrecía la Academia de Ciencias de París a quien lograra demostrar el teorema.
Kummer recibió la medalla en 1858.
La historia tiene su final con Willes, quien ha logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente establecido.
Uno de sus trabajos ha llegado a ser uno de los enunciados más famosos de la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat.
Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener."
Esta demostración siempre ha sido un enigma para muchos matemáticosha sido desde siempre objeto de sospecha. Se dice que estaba equivocado y que carecía de tal demostración.
Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Cien años más tarde Euler publicó una demostración errónea Para n=3. En 1825, Dirichlet y Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo <100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970 para n hasta 30.000 y poco después hasta 125.000. En 1854 la Existía una recompensa de 300.000 francos de oro y una medalla que ofrecía la Academia de Ciencias de París a quien lograra demostrar el teorema.
Kummer recibió la medalla en 1858.
La historia tiene su final con Willes, quien ha logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente establecido.
EL MÉTODO MATEMÁTICO.
Le preguntan a un matemático:
_ "¿Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar a una boca de riegos?"
_ "La conectaría, obviamente".
_ "¿Y si la casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada?"
_ "Quemaría la casa, desconectaría la manguera y luego usaría el método anterior".
_ "¿Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar a una boca de riegos?"
_ "La conectaría, obviamente".
_ "¿Y si la casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada?"
_ "Quemaría la casa, desconectaría la manguera y luego usaría el método anterior".
DEFINICIÓN ALGEBRAICA
El amor es una ecuación perfecta: se eleva un miembro a la mayor potencia posible, se le encierra entre paréntesis, se le extrae el factor común, y queda reducido a la menor expresión.
PREGUNTA EN CLASE.
El maestro.- "A ver, Jaimito, contesta rápidamente: ¿Cuántos son dos y dos?".
Jaimito.- "Cinco".
El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?".
Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".
Jaimito.- "Cinco".
El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?".
Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".
• MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES: SIGLOS XVI, XVII y XVIII.
o Siglo XVI:
Europa Occidental ya había recuperado la mayoría de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada. Con lo que, ya estaban casi preparados para llevar a cabo ciertos avances que superaran las anteriores contribuciones. Esta etapa de transición del Renacimiento al mundo moderno la formaron, también en gran medida, figuras intermedias como: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.
o Siglo XVII: Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, además se comenzó a realizar las publicaciones periódicas. Y se produjo un cambio, en donde se complementaba el estudio de los números con el estudio de los movimientos y transformaciones.
Geometría Analítica:
• Descartes (1596-1650):
o Discurso del Método:
Ecuaciones cuadráticas.
Curvas.
Teoría general de las ecuaciones.
• Fermat (1601-1655):
o Teoría de los lugares planos:
Representaciones gráficas.
Transformaciones geométricas.
Geometría espacial.
Métodos Integrales y Diferenciales:
• Cavalieri:
o Geometría de los indivisibles.
• Galileo y Torricelli:
o Determinar tangentes a curva.
• Fermat:
o Búsqueda de máximos y mínimos.
o Condiciones de existencia raíces múltiples en ecuaciones.
Análisis Infinitesimal:
• Newton:
o Teoría de fluxiones
Teoría de Probabilidades:
• Destacaron:
• Las investigaciones combinatorias
• El concepto de esperanza matemática, que tenía que ver con el problema del reparto de los sueldos.
• Jo. Bernuilli, al final del s. XVII descubrió la forma más simple de la ley de los números generales (publicado en 1713, “Ley de los grandes números”).
o Siglo: XVIII:
Análisis Matemático:
• Cálculo diferencial:
o Señalamos en 1711 a Newton que introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x).
• Cálculo integral:
o Jo. Bernoulli, quién escribió el primer curso matemático de cálculo integral, en 1742.
o Euler, llegó a conseguir los métodos de integración indefinida, casi con el nivel que tenemos hoy en día.
o Integración de funciones espaciales.
• Ecuaciones diferenciales:
o Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo.
o D’Alembert encontró la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea.
o A finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales.
Geometría:
• Geometría analítica:
o Se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.
o Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", y Euler con su obra “Introducción al análisis…”, quienes clasificasen las curvas conocidas.
• Geometría diferencial:
o Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc…
o El matemático que consiguió eclipsar prácticamente el resto de trabajos en este siglo (en esta rama) fue Euler, con logros como la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie.
• Geometría descriptiva y proyectiva:
o Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial.
o Se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive".
Análisis numérico:
• Aritmética universal de Newton (1707):
o Teoría general de ecuaciones.
o Raíces de ecuaciones.
o Determinación del número de raíces reales del polinomio.
o La cota superior de raíces positivas del polinomio.
• Aritmética universal de Euler (1768):
o Desarrollo de la simbología algebraica.
o Admisión definitiva de los números irracionales.
o Teorías de congruencias.
o Análisis diofántico.
o Teoría de las fracciones continuas.
• Teoría de las probabilidades:
o En donde el mayor partícipe fue Laplace. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades" publicada en 1812.
o Siglo XIX: Álgebra moderna.
• Teoría general de ecuaciones algebraicas.
• Teorías de grupos.
• Álgebra lineal.
Análisis matemático.
• Teoría de límites.
• Teoría de funciones.
• Teoría de número real y Teoría de conjuntos.
Teoría general de las funciones complejas:
• A la que contribuyeron en su confección:
o Gauss.
o Rieman.
o Weierstrass.
o Cauchy.
Geometrías no euclidianas:
• Elaboradas por:
o Bolyai.
o Lovachevski.
o Rieman.
Transformaciones geométricas:
• Que corrieron por cuenta de:
o Desartes.
o Pascal.
o Poncelet.
Europa Occidental ya había recuperado la mayoría de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada. Con lo que, ya estaban casi preparados para llevar a cabo ciertos avances que superaran las anteriores contribuciones. Esta etapa de transición del Renacimiento al mundo moderno la formaron, también en gran medida, figuras intermedias como: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.
o Siglo XVII: Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, además se comenzó a realizar las publicaciones periódicas. Y se produjo un cambio, en donde se complementaba el estudio de los números con el estudio de los movimientos y transformaciones.
Geometría Analítica:
• Descartes (1596-1650):
o Discurso del Método:
Ecuaciones cuadráticas.
Curvas.
Teoría general de las ecuaciones.
• Fermat (1601-1655):
o Teoría de los lugares planos:
Representaciones gráficas.
Transformaciones geométricas.
Geometría espacial.
Métodos Integrales y Diferenciales:
• Cavalieri:
o Geometría de los indivisibles.
• Galileo y Torricelli:
o Determinar tangentes a curva.
• Fermat:
o Búsqueda de máximos y mínimos.
o Condiciones de existencia raíces múltiples en ecuaciones.
Análisis Infinitesimal:
• Newton:
o Teoría de fluxiones
Teoría de Probabilidades:
• Destacaron:
• Las investigaciones combinatorias
• El concepto de esperanza matemática, que tenía que ver con el problema del reparto de los sueldos.
• Jo. Bernuilli, al final del s. XVII descubrió la forma más simple de la ley de los números generales (publicado en 1713, “Ley de los grandes números”).
o Siglo: XVIII:
Análisis Matemático:
• Cálculo diferencial:
o Señalamos en 1711 a Newton que introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x).
• Cálculo integral:
o Jo. Bernoulli, quién escribió el primer curso matemático de cálculo integral, en 1742.
o Euler, llegó a conseguir los métodos de integración indefinida, casi con el nivel que tenemos hoy en día.
o Integración de funciones espaciales.
• Ecuaciones diferenciales:
o Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo.
o D’Alembert encontró la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea.
o A finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales.
Geometría:
• Geometría analítica:
o Se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.
o Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", y Euler con su obra “Introducción al análisis…”, quienes clasificasen las curvas conocidas.
• Geometría diferencial:
o Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc…
o El matemático que consiguió eclipsar prácticamente el resto de trabajos en este siglo (en esta rama) fue Euler, con logros como la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie.
• Geometría descriptiva y proyectiva:
o Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial.
o Se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive".
Análisis numérico:
• Aritmética universal de Newton (1707):
o Teoría general de ecuaciones.
o Raíces de ecuaciones.
o Determinación del número de raíces reales del polinomio.
o La cota superior de raíces positivas del polinomio.
• Aritmética universal de Euler (1768):
o Desarrollo de la simbología algebraica.
o Admisión definitiva de los números irracionales.
o Teorías de congruencias.
o Análisis diofántico.
o Teoría de las fracciones continuas.
• Teoría de las probabilidades:
o En donde el mayor partícipe fue Laplace. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades" publicada en 1812.
o Siglo XIX: Álgebra moderna.
• Teoría general de ecuaciones algebraicas.
• Teorías de grupos.
• Álgebra lineal.
Análisis matemático.
• Teoría de límites.
• Teoría de funciones.
• Teoría de número real y Teoría de conjuntos.
Teoría general de las funciones complejas:
• A la que contribuyeron en su confección:
o Gauss.
o Rieman.
o Weierstrass.
o Cauchy.
Geometrías no euclidianas:
• Elaboradas por:
o Bolyai.
o Lovachevski.
o Rieman.
Transformaciones geométricas:
• Que corrieron por cuenta de:
o Desartes.
o Pascal.
o Poncelet.
MATEMÁTICAS ELEMENTALES:
Este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000 años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico griego, pero en el siglo VII ya no produce obras originales.
En estas condiciones surgen los árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de cálculo y algoritmos especiales.
En el continente europeo, solo se empezaron a conseguir éxitos notables en la época del Medievo y especialmente en el Renacimiento.
o Imperio Musulmán: Fundación de escuelas por todo el imperio.
Estudio de las obras griegas.
Infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:
• Cálculo y aproximaciones de raíces.
• Suma de progresiones aritméticas y geométricas.
• Ecuaciones de primer, segundo y tercer grado.
Esbozo del nacimiento del número real.
Formación de la trigonometría.
o Europa Medieval y El Renacimiento:
Creación de centros de enseñanza.
Traducción de las obras árabes.
Matemáticos:
• Fibonacci (1180-1250).
o Cálculo numérico,
o fracciones,
o proporcionalidad,
o progresiones
o …
• Oresmes (1328-1382).
o Exponentes fraccionarios.
• Cardano (1501-1576).
o Divisibilidad polinómica (x-a).
o Resolución ecuaciones grado 3º y 4º.
• Regionomanto (1436-1474).
o Triángulos
o Radicales
o …
• Viéte (1540-1603).
o Simbología algebraica.
• Neper (1550-1617) y Bringgs (1550-1630).
o Sistema logarítmico.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico griego, pero en el siglo VII ya no produce obras originales.
En estas condiciones surgen los árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de cálculo y algoritmos especiales.
En el continente europeo, solo se empezaron a conseguir éxitos notables en la época del Medievo y especialmente en el Renacimiento.
o Imperio Musulmán: Fundación de escuelas por todo el imperio.
Estudio de las obras griegas.
Infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:
• Cálculo y aproximaciones de raíces.
• Suma de progresiones aritméticas y geométricas.
• Ecuaciones de primer, segundo y tercer grado.
Esbozo del nacimiento del número real.
Formación de la trigonometría.
o Europa Medieval y El Renacimiento:
Creación de centros de enseñanza.
Traducción de las obras árabes.
Matemáticos:
• Fibonacci (1180-1250).
o Cálculo numérico,
o fracciones,
o proporcionalidad,
o progresiones
o …
• Oresmes (1328-1382).
o Exponentes fraccionarios.
• Cardano (1501-1576).
o Divisibilidad polinómica (x-a).
o Resolución ecuaciones grado 3º y 4º.
• Regionomanto (1436-1474).
o Triángulos
o Radicales
o …
• Viéte (1540-1603).
o Simbología algebraica.
• Neper (1550-1617) y Bringgs (1550-1630).
o Sistema logarítmico.
NACIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS:
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.
Civilización Egipcia:
Sistema de numeración similar al romano.
Fracciones sencillas
Suma de enteros.
Ecuaciones de primer grado.
Cálculo de primer grado.
Cálculo de áreas y volúmenes elementales.
o Mesopotamia o Antigua Babilonia:
Eficaz sistema de notación fraccionaria.
Numero inverso.
Ecuaciones cuadráticas.
Sistema de dos ecuaciones.
o China Antigua:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces polinómicas.
Elementos básicos de combinatoria.
o India Antigua:
Reglas aritméticas de cálculo.
Resolución de ecuaciones.
Sistema de numeración decimal.
o Grecia:
Duracion de esta época fue menor a cuatro siglos.
Los matemáticos se agrupaban en escuelas.
Aparicion de la "logística" como tal.
La aritmética fue separada en una rama independiente.
Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Se consideraron, el teorema de Pitágoras, la cuadratura del círculo…
Se descubrió la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Dando lugar al álgebra numérica. Algoritmo de Euclides.
Una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides, constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores.
Métodos infinitesimales: investigan los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad…
Aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomicistas. Como es el caso de Demócrito. Teorías totalmente contrarias a esta concepción, como puede ser Zenón. El método de exhaucion, atribuido a Euxodo (cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos…) demostrando la unidad del límite, pero no el problema sobre la existencia del límite.
“Edad de Oro” de las matemáticas (entre los años 300 y 200 a.C.)
“la teoría de las secciones cónicas”, surgiendo de las limitaciones de del álgebra geométrica elaborada por Apolonio, que junto con Euclides y Arquímedes fueron los más importantes.
“Métrica” de Herón de Alejandría.
Los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones,
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia
Civilización Egipcia:
Sistema de numeración similar al romano.
Fracciones sencillas
Suma de enteros.
Ecuaciones de primer grado.
Cálculo de primer grado.
Cálculo de áreas y volúmenes elementales.
o Mesopotamia o Antigua Babilonia:
Eficaz sistema de notación fraccionaria.
Numero inverso.
Ecuaciones cuadráticas.
Sistema de dos ecuaciones.
o China Antigua:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces polinómicas.
Elementos básicos de combinatoria.
o India Antigua:
Reglas aritméticas de cálculo.
Resolución de ecuaciones.
Sistema de numeración decimal.
o Grecia:
Duracion de esta época fue menor a cuatro siglos.
Los matemáticos se agrupaban en escuelas.
Aparicion de la "logística" como tal.
La aritmética fue separada en una rama independiente.
Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Se consideraron, el teorema de Pitágoras, la cuadratura del círculo…
Se descubrió la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Dando lugar al álgebra numérica. Algoritmo de Euclides.
Una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides, constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores.
Métodos infinitesimales: investigan los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad…
Aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomicistas. Como es el caso de Demócrito. Teorías totalmente contrarias a esta concepción, como puede ser Zenón. El método de exhaucion, atribuido a Euxodo (cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos…) demostrando la unidad del límite, pero no el problema sobre la existencia del límite.
“Edad de Oro” de las matemáticas (entre los años 300 y 200 a.C.)
“la teoría de las secciones cónicas”, surgiendo de las limitaciones de del álgebra geométrica elaborada por Apolonio, que junto con Euclides y Arquímedes fueron los más importantes.
“Métrica” de Herón de Alejandría.
Los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones,
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia
¿Cómo podemos ENSEÑAR A CONTAR?
UNA PROPUESTA:
En la etapa de enseñanza del conteo, de enseñar a contar, puesto que el proceso en sí es bastante redundante, debemos tratar de hacerlo de una forma un poquito más atractiva que ayude a los niños a aumentar su motivación a la hora de aprender.
Aquí os propongo un método muy sencillo y fácil. Tanto para el docente como para el discente, el éxito de una explicación implica una satisfacción, y de ello en muchos casos, dependerá la presentación a los niños y los materiales utilizados. En este caso utilizaremos cartulinas de diferentes colores.
El profesor utiliza unos números, en este caso fabricados por él ( en cartulinas de colores y plastificados).
De un mismo color, por ejemplo azul.
Con las unidades:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Los niños aprender la secuencia y se les explica que a partir del nueve, los números se deben agrupar de dos en dos. Cogeríamos el 1 y el 0, y formamos el 10. El primer número de dos cifras.
Para esto, tendremos preparada otra cartulina de diferente color, por ejemplo roja, en la que aparezca el número 10, de ésta forma diferenciamos las decenas. Haremos lo mismo con las centenas, etc.
Con las decenas: (DE COLOR ROJO)
10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90
Con las centenas: (DE COLOR AMARILLO)
100 , 200 , 300 , 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900
Cogemos la cartulina roja en la que esté el número 10 y a partir de ahí le ponemos los números azules encima de la cifra de las unidades, que sería encima del cero. Ej:
10 11 , 12 , 13 , 14 …
De esta forma podemos observar no sólo la secuencia, sino también cómo se diferencia entre las posiciones de los números. En función del número de cifras que tengamos iremos diferenciándolas con distintos colores.
• Se asocia la sucesión de unidades, con los dedos de las manos, en el momento que ya los hemos contado, los diez, hemos pasado a las decenas.
Una vez que dominen la sucesión de números de dos cifras, o por lo menos entiendan el procedimiento es hora de incluir las centenas. Comenzaremos superponiendo las unidades, quedándonos en amarillo, en este caso, el hueco de las decenas y centenas. A la hora de pasar de unidades a decenas, observaremos si el niño o niña comprende lo anterior, porque tendrá que hacerlo.
101 , 102, 103 , 104 , 105 , 106 , 107 , 108 , 109
110 , 120 , 130 , 140 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190
111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 , 117 , 118 , 119
Así tendremos ya diferenciadas por colores la sucesión de unidades, decenas y centenas. Al llegar al número 999, incluiríamos el 1000 del mismo modo, dando, por ejemplo el color verde para las unidades de mil.
EN EL MOOODLE ESTÁ EN LA WIKI CON LOS NÚMEROS EN COLOR, PARA QUE LO VEÁIS MÁS CLARO. AQUÍ NO ME PERMITE PONER COLOR.
En la etapa de enseñanza del conteo, de enseñar a contar, puesto que el proceso en sí es bastante redundante, debemos tratar de hacerlo de una forma un poquito más atractiva que ayude a los niños a aumentar su motivación a la hora de aprender.
Aquí os propongo un método muy sencillo y fácil. Tanto para el docente como para el discente, el éxito de una explicación implica una satisfacción, y de ello en muchos casos, dependerá la presentación a los niños y los materiales utilizados. En este caso utilizaremos cartulinas de diferentes colores.
El profesor utiliza unos números, en este caso fabricados por él ( en cartulinas de colores y plastificados).
De un mismo color, por ejemplo azul.
Con las unidades:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Los niños aprender la secuencia y se les explica que a partir del nueve, los números se deben agrupar de dos en dos. Cogeríamos el 1 y el 0, y formamos el 10. El primer número de dos cifras.
Para esto, tendremos preparada otra cartulina de diferente color, por ejemplo roja, en la que aparezca el número 10, de ésta forma diferenciamos las decenas. Haremos lo mismo con las centenas, etc.
Con las decenas: (DE COLOR ROJO)
10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90
Con las centenas: (DE COLOR AMARILLO)
100 , 200 , 300 , 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900
Cogemos la cartulina roja en la que esté el número 10 y a partir de ahí le ponemos los números azules encima de la cifra de las unidades, que sería encima del cero. Ej:
10 11 , 12 , 13 , 14 …
De esta forma podemos observar no sólo la secuencia, sino también cómo se diferencia entre las posiciones de los números. En función del número de cifras que tengamos iremos diferenciándolas con distintos colores.
• Se asocia la sucesión de unidades, con los dedos de las manos, en el momento que ya los hemos contado, los diez, hemos pasado a las decenas.
Una vez que dominen la sucesión de números de dos cifras, o por lo menos entiendan el procedimiento es hora de incluir las centenas. Comenzaremos superponiendo las unidades, quedándonos en amarillo, en este caso, el hueco de las decenas y centenas. A la hora de pasar de unidades a decenas, observaremos si el niño o niña comprende lo anterior, porque tendrá que hacerlo.
101 , 102, 103 , 104 , 105 , 106 , 107 , 108 , 109
110 , 120 , 130 , 140 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190
111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 , 117 , 118 , 119
Así tendremos ya diferenciadas por colores la sucesión de unidades, decenas y centenas. Al llegar al número 999, incluiríamos el 1000 del mismo modo, dando, por ejemplo el color verde para las unidades de mil.
EN EL MOOODLE ESTÁ EN LA WIKI CON LOS NÚMEROS EN COLOR, PARA QUE LO VEÁIS MÁS CLARO. AQUÍ NO ME PERMITE PONER COLOR.
LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO NATURAL Y LA NUMERACIÓN.
Origen de la configuración de una estructura numérica, junto con los principios de un sistema que permitió su designación:
- Matemática Babilónica.
- Se amplió con aportaciones de la matemática griega.
La introducción del sistema de numeración decimal se introdujo en Europa:
- Año 770. Escuela matemática de Bagdad surge la notación decimal hindú.
- 825. Comienza su difusión con la obra de Al Khwarizmi.
- Ppios. S. XII. Gerardo de Cremona y Robert Chester (escuela traductores de Toledo) la traducen al latín.
(Los europeos aprendieron de los árabes, y éstos de los hindúes, además de la escritura de los números, el método del cálculo escrito (algoritmos, derivado de Al Khwarizmi).
OBJETIVOS:
- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático y didáctico, la notación de número natural y de sistema de numeración.
- Aproximarnos a diferentes modelos de enseñanza del número y de la numeración para determinar cómo la institución escolar ha considerado, y considera en la actualidad, estos conocimientos matemáticos en los primeros niveles escolares.
- Construir, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, la situación fundamental para la cardinación de una colección, determinar sus variables didácticas para generar una familia de situaciones didácticas derivadas de ella.
- Analizar las situaciones que puedan dar significación al número natural y a la numeración en los niveles escolares donde comienzan a construirse estos conocimientos matemáticos.
- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los alumnos en la resolución de los problemas anteriores, así como la actividad matemática que desarrollan con ellos.
- Estudiar la evolución seguida en la designación de los números: análisis, limitaciones y propiedades de diferentes sistemas de numeración.
- Llevar a cabo análisis didácticos de situaciones de enseñanza-aprendizaje del número de y de la numeración.
- Analizar errores cometidos por los niños en relación con estos conocimientos matemáticos e identificar sus causas.
LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO Y DE LA NUMERACIÓN. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.
(Estudio relativo a procesos de transposición didáctica. Como iniciación al análisis didáctico del tema, vemos la evolución en los programas y manuales escolares de los tres últimos periodos históricos en los que se refiere a la numeración y el número natural).
1953-1971.
Los números se presentan en los textos escolares comenzando por la unidad, y todo número se formaba a partir del anterior. Aprendizaje por ostensión. La hipótesis de los autores principalmente empirista: aprendizaje basado en la experiencia, graduando adecuadamente los pasos desde lo más simple a lo más complejo (observar, reproducir y repetir).
Se distingue entre números concretos y abstractos:
“Números concretos son los que expresan la especie de sus unidades. Siete pesetas, cuatro niños, quince metros, etc. Números abstractos son los que no expresan la especie de sus unidades: cuatro, siete, doce.”
1971-1992.
Aparece la necesidad de adquirir “conocimientos prenuméricos” (sin ellos no es posible construir el número):
- 1ª etapa EGB; se pretende que los alumnos lleguen a la expresión numérica mediante el ejercicio y la expresión consciente de las relaciones entre conjuntos, la comprensión del número como una propiedad de aquéllos. Se profundiza para llegar al conocimiento del número natural partiendo de la teoría de los conjuntos (el niño se familiariza antes con los conjuntos que con los números).
Se induce una concepción del número natural como “cardinal de un conjunto finito”.
Se considera necesario, en la progresión del conocimiento escolar, comenzar por las nociones prenuméricas como son las de: conjunto, correspondencia, biyeción, relación, etc.
Cada número se construye como propiedad de una familia de conjuntos coordinables entre sí, no por adición de la unidad al anterior.
Presenta la numeración a partir de distintas bases (base 2, base 5):
El niño se familiariza con los cambios de unidades que después tendrá que hacer en el sistema de numeración decimal e interiorizará, con muchos ejercicios, los distintos agrupamientos en función del sistema de numeración en el que trabaje.
La numeración también se trata como objeto de estudio. Para que los alumnos abstrajesen las propiedades que permanecen constantes (los fundamentos sobre los que se asientan los sistemas de numeración posicionales, se les presentaban actividades en diferentes bases y a través de la manipulación de materiales (multibase de Dienes).
Si comparamos los dias periodos anteriores vemos que antes de 1971, los números se estudian por iteración sucesiva de la unidad (del estudio del número se precisaban las reglas de escritura, las convenciones, sumas, descomposiciones, etc.
Al contrario, después de 1971 son las nociones las que sirven como trama para su prgresión: nociones prenuméricas (clasificación, orden, correspondencia), después la noción de número, y luego numeración y demás operaciones.
A partir de 1992.
En los nuevos diseños curriculares se indican los siguientes contenidos en cuanto al número natural:
- necesidad y funciones del número: contar medir, ordenar, expresar cantidades o particiones.
- Relaciones entre números. Números cardinales y ordinales.
- Sistema de numeración decimal.
Objetivos:- reconocer situaciones en las que existan problemas cuyo tratamiento requiera operaciones elementales de cálculo, formularlos mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los algoritmos correspondientes.
- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración…
- Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
Se refleja en los textos escolares donde se introducen los números mediante el conteo. “el uno, el siguiente se designa como dos, luego el tres”. Éstos se acompañan de imágenes donde se aprecia que el tres, por ejemplo, se forma con un dos y un uno, y así sucesivamente para todos los primeros números.
¿Qué concepción del número natural promueve ésta presentación?
Los manuales apoyan un conocimiento social, como contar, y promueven la concepción del número natural “counting-number” (Freudenthal, 1983), frente a “cardinal -number”
La numeración como medio para designar los números.
La didáctica que hoy se propone ofrece útiles como es el número y su designación, para su aplicación posterior en la resolución de problemas.
Las orientaciones didácticas facilitadas por los diseños curriculares insisten en un aprendizaje constructivista, mientras que los manuales escolares a un modelo empirista.
Hoy la presentación en los textos tiene mucho en común con la del primer periodo histórico. Brousseau (1996), ante este retorno, considera que “la insuficiencia de conocimientos didácticos impide reformas eficientes en el sistema educativo. En los años 70 y 80 se da un sentido más rico y completo a las situaciones de enseñanza de los números. El conteo acompañaba el aprendizaje, hoy volvemos al aprendizaje de los números sólo por medio del conteo. Rechaza éste retorno de métodos antiguos, la cultura de los profesores ha perdido, por esto, conocimientos útiles y costosamente adquiridos.
Así pues en el análisis didáctico no podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje queremos gestionar.
CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS EN RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA.
1. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados en el medio social y familiar, por lo tanto tendremos en cuenta las experiencias o conocimientos previos de los niños con los números.
2. Debemos buscar situaciones que les permita encontrar razones del ser del número y la numeración, por lo tanto estudiaremos formalmente las funciones de estos conceptos y así construir un conunto de situciones donde la cardinación jueguen una función y tengan significación.
3. Es necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.
4. Para dar significación al número y a la numeración debemos atender a: ¿para qué tenemos necesidad del número y de su designación?
PROCEDIMIENTOS QUE PUEDEN EMPLEAR LOS NIÑOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Resaltamos, entre otros:
1. Correspondencia término a término.
2. Correspondencia subconjunto a subconjunto.
3. Estimación puramente visual.
4. Subitizar.
5. Contar.
6. Recontar.
7. Descontar.
8. Sobrecontar.
9. Procedimientos mixtos.
10. Procedimientos de cálculo.
- Matemática Babilónica.
- Se amplió con aportaciones de la matemática griega.
La introducción del sistema de numeración decimal se introdujo en Europa:
- Año 770. Escuela matemática de Bagdad surge la notación decimal hindú.
- 825. Comienza su difusión con la obra de Al Khwarizmi.
- Ppios. S. XII. Gerardo de Cremona y Robert Chester (escuela traductores de Toledo) la traducen al latín.
(Los europeos aprendieron de los árabes, y éstos de los hindúes, además de la escritura de los números, el método del cálculo escrito (algoritmos, derivado de Al Khwarizmi).
OBJETIVOS:
- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático y didáctico, la notación de número natural y de sistema de numeración.
- Aproximarnos a diferentes modelos de enseñanza del número y de la numeración para determinar cómo la institución escolar ha considerado, y considera en la actualidad, estos conocimientos matemáticos en los primeros niveles escolares.
- Construir, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, la situación fundamental para la cardinación de una colección, determinar sus variables didácticas para generar una familia de situaciones didácticas derivadas de ella.
- Analizar las situaciones que puedan dar significación al número natural y a la numeración en los niveles escolares donde comienzan a construirse estos conocimientos matemáticos.
- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los alumnos en la resolución de los problemas anteriores, así como la actividad matemática que desarrollan con ellos.
- Estudiar la evolución seguida en la designación de los números: análisis, limitaciones y propiedades de diferentes sistemas de numeración.
- Llevar a cabo análisis didácticos de situaciones de enseñanza-aprendizaje del número de y de la numeración.
- Analizar errores cometidos por los niños en relación con estos conocimientos matemáticos e identificar sus causas.
LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO Y DE LA NUMERACIÓN. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.
(Estudio relativo a procesos de transposición didáctica. Como iniciación al análisis didáctico del tema, vemos la evolución en los programas y manuales escolares de los tres últimos periodos históricos en los que se refiere a la numeración y el número natural).
1953-1971.
Los números se presentan en los textos escolares comenzando por la unidad, y todo número se formaba a partir del anterior. Aprendizaje por ostensión. La hipótesis de los autores principalmente empirista: aprendizaje basado en la experiencia, graduando adecuadamente los pasos desde lo más simple a lo más complejo (observar, reproducir y repetir).
Se distingue entre números concretos y abstractos:
“Números concretos son los que expresan la especie de sus unidades. Siete pesetas, cuatro niños, quince metros, etc. Números abstractos son los que no expresan la especie de sus unidades: cuatro, siete, doce.”
1971-1992.
Aparece la necesidad de adquirir “conocimientos prenuméricos” (sin ellos no es posible construir el número):
- 1ª etapa EGB; se pretende que los alumnos lleguen a la expresión numérica mediante el ejercicio y la expresión consciente de las relaciones entre conjuntos, la comprensión del número como una propiedad de aquéllos. Se profundiza para llegar al conocimiento del número natural partiendo de la teoría de los conjuntos (el niño se familiariza antes con los conjuntos que con los números).
Se induce una concepción del número natural como “cardinal de un conjunto finito”.
Se considera necesario, en la progresión del conocimiento escolar, comenzar por las nociones prenuméricas como son las de: conjunto, correspondencia, biyeción, relación, etc.
Cada número se construye como propiedad de una familia de conjuntos coordinables entre sí, no por adición de la unidad al anterior.
Presenta la numeración a partir de distintas bases (base 2, base 5):
El niño se familiariza con los cambios de unidades que después tendrá que hacer en el sistema de numeración decimal e interiorizará, con muchos ejercicios, los distintos agrupamientos en función del sistema de numeración en el que trabaje.
La numeración también se trata como objeto de estudio. Para que los alumnos abstrajesen las propiedades que permanecen constantes (los fundamentos sobre los que se asientan los sistemas de numeración posicionales, se les presentaban actividades en diferentes bases y a través de la manipulación de materiales (multibase de Dienes).
Si comparamos los dias periodos anteriores vemos que antes de 1971, los números se estudian por iteración sucesiva de la unidad (del estudio del número se precisaban las reglas de escritura, las convenciones, sumas, descomposiciones, etc.
Al contrario, después de 1971 son las nociones las que sirven como trama para su prgresión: nociones prenuméricas (clasificación, orden, correspondencia), después la noción de número, y luego numeración y demás operaciones.
A partir de 1992.
En los nuevos diseños curriculares se indican los siguientes contenidos en cuanto al número natural:
- necesidad y funciones del número: contar medir, ordenar, expresar cantidades o particiones.
- Relaciones entre números. Números cardinales y ordinales.
- Sistema de numeración decimal.
Objetivos:- reconocer situaciones en las que existan problemas cuyo tratamiento requiera operaciones elementales de cálculo, formularlos mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los algoritmos correspondientes.
- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración…
- Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
Se refleja en los textos escolares donde se introducen los números mediante el conteo. “el uno, el siguiente se designa como dos, luego el tres”. Éstos se acompañan de imágenes donde se aprecia que el tres, por ejemplo, se forma con un dos y un uno, y así sucesivamente para todos los primeros números.
¿Qué concepción del número natural promueve ésta presentación?
Los manuales apoyan un conocimiento social, como contar, y promueven la concepción del número natural “counting-number” (Freudenthal, 1983), frente a “cardinal -number”
La numeración como medio para designar los números.
La didáctica que hoy se propone ofrece útiles como es el número y su designación, para su aplicación posterior en la resolución de problemas.
Las orientaciones didácticas facilitadas por los diseños curriculares insisten en un aprendizaje constructivista, mientras que los manuales escolares a un modelo empirista.
Hoy la presentación en los textos tiene mucho en común con la del primer periodo histórico. Brousseau (1996), ante este retorno, considera que “la insuficiencia de conocimientos didácticos impide reformas eficientes en el sistema educativo. En los años 70 y 80 se da un sentido más rico y completo a las situaciones de enseñanza de los números. El conteo acompañaba el aprendizaje, hoy volvemos al aprendizaje de los números sólo por medio del conteo. Rechaza éste retorno de métodos antiguos, la cultura de los profesores ha perdido, por esto, conocimientos útiles y costosamente adquiridos.
Así pues en el análisis didáctico no podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje queremos gestionar.
CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS EN RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA.
1. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados en el medio social y familiar, por lo tanto tendremos en cuenta las experiencias o conocimientos previos de los niños con los números.
2. Debemos buscar situaciones que les permita encontrar razones del ser del número y la numeración, por lo tanto estudiaremos formalmente las funciones de estos conceptos y así construir un conunto de situciones donde la cardinación jueguen una función y tengan significación.
3. Es necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.
4. Para dar significación al número y a la numeración debemos atender a: ¿para qué tenemos necesidad del número y de su designación?
PROCEDIMIENTOS QUE PUEDEN EMPLEAR LOS NIÑOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Resaltamos, entre otros:
1. Correspondencia término a término.
2. Correspondencia subconjunto a subconjunto.
3. Estimación puramente visual.
4. Subitizar.
5. Contar.
6. Recontar.
7. Descontar.
8. Sobrecontar.
9. Procedimientos mixtos.
10. Procedimientos de cálculo.
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