MODELOS DE APRENDIZAJE
1.- EMPIRISMO: el alumno sólo aprende lo q el profesor explica en clase; la adquisición del conocimiento se produce por acumulación; el maestro y el alumno no deben equivocarse. El error: fracaso; el contenido matemático se registra en el alumno a través del discurso del maestro. Se considera al alumno incapaz de crear conocimiento.
2.- CONSTRUCTIVISTA: el aprendizaje se basa en la acción entendida como construir una solución (anticipación); la adquisición de conocimiento se apoya en procesos de reequilibrio, acomodación, asimilación y equilibrado; se conoce en contra de los conocimientos anteriores; los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo pueden facilitar la adquisición de conocimientos (necesidad de legar a un consenso: implica que el alumno sea más activo cognitivamente y todos participan, aportan información). El aprendizaje no se reduce a una simple memorización.
EL APRENDIZAJE POR ADAPTACIÓN AL MEDIO (modelo constructivista)
Acción
Retroalimentación
Gestión y control
El alumno aprende adaptándose al medio dando nuevas respuestas que son la prueba del aprendizaje. Esta concepción del aprendizaje está muy próxima a la de Piaget: el alumno construye su propio conocimiento y actúa en un medio fuente de desequilibrios. Por ello, las situaciones que el maestro debe proponer deben ser de creación y no de redescubrimiento, es decir, que el alumno pueda vivir.
Según Brousseau (1994), enseñar un conocimiento matemático concreto es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad de creación matemática en el sentido anterior. En consecuencia, “el aprendizaje se considera como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por si mismo y que el maestro sólo debe provocar”.
Para que sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno dé, frente a la pregunta planteada, no sea la que queremos enseñarle: ya que sino sería una situación de aplicación de conocimientos ya aprendidos y no de aprendizaje. La respuesta inicial sólo debe permitir al alumno utilizar una estrategia de base con la ayuda de sus conocimientos anteriores, pero, muy pronto, esta estrategia debe mostrarse lo suficientemente ineficaz como para que el alumno se vea obligado a realizar aconomodaciones para responder a la situación propuesta. Es decir, para adaptarse al medio y no al deseo del maestro.
Desde esta perspectiva, el alumno aprenderá matemáticas, si:
- Entra en el problema, haciéndolo suyo.
- Pone en funcionamiento una estrategia de “base” (defectuosa, insuficiente).
- Trata de superar el desequilibrio y anticipa y emite hipótesis que le permitan:
o Elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento
o Automatizar aquellos que sean solicitados con frecuencia.
o Ejercer un control sobre los resultados.
o Construir con sentido un conocimiento matemático.
LAS VARIABLES DIDÁCTICAS
Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en funcionamiento el alumno (por el coste, por la validez, por la complejidad, etc.)
Es decir, es el elemento de la situación tal que, si actuamos sobre él, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes.
ERRORES Y OBSTÁCULOS
EL error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas del aprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito en otras situaciones, y que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, su origen se constituye en un obstáculo.
Origen de los obstáculos:
1.- Origen epistemológico:
- Siempre se trata de un conocimiento, no de su ausencia.
- Este conocimiento permite producir respuestas correctas en ciertos dominios.
- Este mismo conocimiento produce respuestas erróneas en otros dominios.
- Los errores son persistentes y resistentes a la corrección.
Ejemplo: un niño se equivoca porque no tiene conocimientos suficientes para poder resolver ese problema. Es decir, el niño sabe cosas pero intenta aplicar eso que sabe a otro contexto en el que no sirve.
2.- Origen ontogenético:
- Están ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos.
Ejemplo: los problemas de conservación. Hasta que el niño no tiene una determinada edad no es capaz de comprenderlo por mucho que se insista en que el niño lo aprenda.
3.- Origen didáctico:
- Producidos por las decisiones del profesor o del propio sistema en relación con ciertos conocimientos matemáticos.
Ejemplo: representaciones ostentivas de figuras geométricas.
CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS
Concepción: idea que una persona forma en su mente o concepto que elabora sobre una determinada cosa.
Las concepciones sobre los objetos matemáticos se forman a partir del intercambio entre el conocimiento del alumno y el uso que hace de ellos en distintos problemas y situaciones que se le plantean.
El término concepción del sujeto permite al profesor explicar los comportamientos de los alumnos ante las tareas matemáticas.
El rechazo de una concepción y la adopción de una nueva no se hace por una simple explicación del profesor, sino cuando el alumno se enfrenta a situaciones específicas donde la nueva concepción aparece, bien como solución necesaria y única, bien como solución más económica, más segura, mejor adecuada, óptima para su resolución.
PRINCIPIOS PARA LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES
- Principio de igualdad: grandes expectativas u sólido apoyo para todos los estudiantes.
- Principio curricular: coherencia y buena articulación
- Principio de enseñanza: conocer lo que los alumnos saben y lo que necesitan aprender.
- Principio de aprendizaje: construcción significativa a partir de la experiencia y de los conocimientos previos.
- Principio de evaluación: la evaluación debe apoyar el proceso de E-A.
- Principio tecnológico: la tecnología debe utilizarse como recurso didáctico.
lunes, 16 de junio de 2008
APRAXIA
Definición: Es un trastorno de la eficiencia motriz, el niño no puede realizar algunos gestos o movimientos. Forma parte de un síndrome psicomotor y neurológico.
Para de Renzi (1989): “afección de la capacidad para la ejecución intencionada de movimientos fuera de contexto, en ausencia de déficits sensoriomotores, perceptivos, comprensivos o deterioro mental grave”. Es decir, el sujeto mantiene intactas las potencialidades para realizar correctamente los movimientos, pero es incapaz de hacerlo cuando se le requiere.
Con estas definiciones, como Apraxia en sí, es muy difícil detectar en el colegio, ya que resultará del Diagnóstico diferencial.
Síntomas:
Para poder detectar el trastorno debemos saber que el niño apraxico en el colegio carece de capacidad para ejecutar movimientos, por ejemplo en E.F y no tarda en ponerse en evidencia. Aparece como torpe, lento o inhábil. En dichas clases especiales puede ocurrir:
-que sea el niño incluido en un grupo de competencia, como acompañante de la destreza física.
-que sea el protegido, aquel al que todos perdonan y ayudan.
Observaremos que en el aula tendrá la misma conducta motora inadecuada, será el niño que no logra organizar sus materiales, su mochila, el que no participa de las actividades manuales estéticas y, sobre todo, el niño al que le cuesta mucho el manejo del cuaderno y la escritura.
Diagnóstico
Como maestros investigadores sabremos que nuestro papel es también el seguimiento y evolución de los alumnos, de forma que podemos comenzar con la observación y el registro de alteraciones y limitaciones motoras que el niño posee y que impiden el desarrollo escolar y principalmente el inicio de la lecto-escritura, por lo tanto llegaremos a apreciar las necesidades educativas, incluso podríamos hacer un diagnóstico que esclarecerá qué aspectos prevalecen en la dificultad motora. En caso de detectar una alteración motriz o trastorno notable, sobretodo e áreas como plástica, E.F, música, etc. los profesores pueden diagnosticar:
* Falta de coordinación motriz y lentitud y dificultad motora ( en los movimientos).
* Dificultad en la copia o creación de imágenes escritas (dibujo y escritura).
* Desorganización en los puntos de referencia fundamentales (derecha-izquierda; arriba-abajo).
* Alteraciones del esquema corporal.
Para poder realizar un diagnóstico más fiable puedes observar al niño en las siguientes actividades.
A. CORPORALES:
- Copia de postura y de movimientos coordinados.
- Realización de posturas y movimientos coordinados a partir de una imagen.
- Cumplir ordenes que impliquen el uso de la lateralidad y de las posiciones espaciales, con respecto al propio cuerpo.
- Focalizar las consignas de lateralidad en miembros inferiores y superiores, y a nivel gestual.
- Proponer actividades de ligereza motora con todo el cuerpo, y luego con la destreza motora fina en manos y ojos.
B. GRÁFICOS:
Copia de dibujos y de figuras, Calcado, Punteo, Picado, Pintar, Recortar, Completar claves con limite de tiempo.
La evaluación de estos trastornos de manera es más conveniente que sea secuencial con el fin de percibir las variantes de intensidad individual en la persona. Se han ideado diversas metodologías como la prueba de conexión de números y letras, a veces de manera alterna, el dibujar figuras conocidas, como estrellas o círculos consecutivos, la imitación de mímicas y gestos, simular la manipulación de objetos imaginarios (peinarse, cepillarse los dientes, cortar pan, con tijeras, etc), movimientos sin significado ( determinadas posiciones de los dedos), bucales (soplar una vela imaginaria, toser, etc), entre otros. Estas acciones el examinador, suele pedirlas verbalmente.
El paciente mantiene un nivel adecuado de atención y colaboración, pero es incapaz de hacerlos cuando se le requiere. Esta incapacidad no se debe a una debilidad motora, a akinesia, a reflejo anormales, a u déficit sensorial o a una mala comprensión, sino que es frecuente que el paciente pueda realizar en su vida diaria los movimientos que es incapaz cuando el examinador se lo pide.
Tratamiento:
El tratamiento de estas dificultades motoras dependerá del Diagnóstico diferencial; pero de todas maneras apuntará a la estimulación motriz.
El maestro deberá tener un trato especial en cuanto a las propuestas de consignas motoras corporales o graficas. Evaluará al niño desde otros ámbitos, como pueden ser el verbal. En las clases de educación física participará de la actividad pero se tendrá un trato individualizado para la evaluación, que con ciertas limitaciones se pueden realizar en forma oral.
En cuanto al manejo del pizarrón en niños con grafismos lentos o alterados que requieren de más tiempo y de autocorrección, se sugiere utilizar el pizarrón en secciones con las diferentes actividades, para ir borrando por partes y no retener a todo el grupo por algún rezagado o realizar un trabajo especial individualizado con el niño. En el caso de tener nuevas tecnologías como tablets e internet, sería mucho mejor para ambos. Permitiría al niño descargar actividades enviadas por el profesor y enviárselas vía intranet, etc. así tampoco se pondría en evidencia tan a menudo, la incapacidad motriz del alumno, como supone salir a la pizarra.
Ante el uso del pizarrón en secciones con el niño lento, se le debe alertar y alentar constantemente para marcarle el ritmo y superar su dificultad.
Para de Renzi (1989): “afección de la capacidad para la ejecución intencionada de movimientos fuera de contexto, en ausencia de déficits sensoriomotores, perceptivos, comprensivos o deterioro mental grave”. Es decir, el sujeto mantiene intactas las potencialidades para realizar correctamente los movimientos, pero es incapaz de hacerlo cuando se le requiere.
Con estas definiciones, como Apraxia en sí, es muy difícil detectar en el colegio, ya que resultará del Diagnóstico diferencial.
Síntomas:
Para poder detectar el trastorno debemos saber que el niño apraxico en el colegio carece de capacidad para ejecutar movimientos, por ejemplo en E.F y no tarda en ponerse en evidencia. Aparece como torpe, lento o inhábil. En dichas clases especiales puede ocurrir:
-que sea el niño incluido en un grupo de competencia, como acompañante de la destreza física.
-que sea el protegido, aquel al que todos perdonan y ayudan.
Observaremos que en el aula tendrá la misma conducta motora inadecuada, será el niño que no logra organizar sus materiales, su mochila, el que no participa de las actividades manuales estéticas y, sobre todo, el niño al que le cuesta mucho el manejo del cuaderno y la escritura.
Diagnóstico
Como maestros investigadores sabremos que nuestro papel es también el seguimiento y evolución de los alumnos, de forma que podemos comenzar con la observación y el registro de alteraciones y limitaciones motoras que el niño posee y que impiden el desarrollo escolar y principalmente el inicio de la lecto-escritura, por lo tanto llegaremos a apreciar las necesidades educativas, incluso podríamos hacer un diagnóstico que esclarecerá qué aspectos prevalecen en la dificultad motora. En caso de detectar una alteración motriz o trastorno notable, sobretodo e áreas como plástica, E.F, música, etc. los profesores pueden diagnosticar:
* Falta de coordinación motriz y lentitud y dificultad motora ( en los movimientos).
* Dificultad en la copia o creación de imágenes escritas (dibujo y escritura).
* Desorganización en los puntos de referencia fundamentales (derecha-izquierda; arriba-abajo).
* Alteraciones del esquema corporal.
Para poder realizar un diagnóstico más fiable puedes observar al niño en las siguientes actividades.
A. CORPORALES:
- Copia de postura y de movimientos coordinados.
- Realización de posturas y movimientos coordinados a partir de una imagen.
- Cumplir ordenes que impliquen el uso de la lateralidad y de las posiciones espaciales, con respecto al propio cuerpo.
- Focalizar las consignas de lateralidad en miembros inferiores y superiores, y a nivel gestual.
- Proponer actividades de ligereza motora con todo el cuerpo, y luego con la destreza motora fina en manos y ojos.
B. GRÁFICOS:
Copia de dibujos y de figuras, Calcado, Punteo, Picado, Pintar, Recortar, Completar claves con limite de tiempo.
La evaluación de estos trastornos de manera es más conveniente que sea secuencial con el fin de percibir las variantes de intensidad individual en la persona. Se han ideado diversas metodologías como la prueba de conexión de números y letras, a veces de manera alterna, el dibujar figuras conocidas, como estrellas o círculos consecutivos, la imitación de mímicas y gestos, simular la manipulación de objetos imaginarios (peinarse, cepillarse los dientes, cortar pan, con tijeras, etc), movimientos sin significado ( determinadas posiciones de los dedos), bucales (soplar una vela imaginaria, toser, etc), entre otros. Estas acciones el examinador, suele pedirlas verbalmente.
El paciente mantiene un nivel adecuado de atención y colaboración, pero es incapaz de hacerlos cuando se le requiere. Esta incapacidad no se debe a una debilidad motora, a akinesia, a reflejo anormales, a u déficit sensorial o a una mala comprensión, sino que es frecuente que el paciente pueda realizar en su vida diaria los movimientos que es incapaz cuando el examinador se lo pide.
Tratamiento:
El tratamiento de estas dificultades motoras dependerá del Diagnóstico diferencial; pero de todas maneras apuntará a la estimulación motriz.
El maestro deberá tener un trato especial en cuanto a las propuestas de consignas motoras corporales o graficas. Evaluará al niño desde otros ámbitos, como pueden ser el verbal. En las clases de educación física participará de la actividad pero se tendrá un trato individualizado para la evaluación, que con ciertas limitaciones se pueden realizar en forma oral.
En cuanto al manejo del pizarrón en niños con grafismos lentos o alterados que requieren de más tiempo y de autocorrección, se sugiere utilizar el pizarrón en secciones con las diferentes actividades, para ir borrando por partes y no retener a todo el grupo por algún rezagado o realizar un trabajo especial individualizado con el niño. En el caso de tener nuevas tecnologías como tablets e internet, sería mucho mejor para ambos. Permitiría al niño descargar actividades enviadas por el profesor y enviárselas vía intranet, etc. así tampoco se pondría en evidencia tan a menudo, la incapacidad motriz del alumno, como supone salir a la pizarra.
Ante el uso del pizarrón en secciones con el niño lento, se le debe alertar y alentar constantemente para marcarle el ritmo y superar su dificultad.
MATERIALES PARA LA ADQUISICIÓN DEL NÚMERO.
En el caso de que una de las hipótesis sea el fallo de los niños en la adquisición del concepto de número, existen una serie de materiales diseñados para favorecer el aprendizaje de dicho concepto. Entre otros se encuentran:
El material Dienes – Hull, es el material didáctico más utilizado en la fase prenumérica en actividades de agrupamiento, clasificación y relaciones de cordinabilidad. Consta de 48 piezas de madera o plástico fácilmente manipulables que atienden a 4 atributos: forma, tamaño, color y grosor. Existen varias variantes en el mercado de los bloques lógicos.
En la fase manipulativa, a partir de actividades con los bloques lógicos, el niño los manipula libremente y reconocerá cada bloque, los clasificará atendiendo a un solo criterio (tamaño, forma, color, grosor), los clasificará atendiendo a 2 criterios (forma y tamaño, etc.), realizará seriaciones con distintos criterios, etc.
Son numerosos los materiales didácticos dedicados a ayudar a identificar los números del 0 al 9, a asociar cada numero con la colección de objetos correspondientes, a favorecer la grafía de las cifras, a descubrir la relación de orden entre ellos, a componer y descomponer los números, a facilitar la generalización del concepto de número no asociándolo ni a una sola actividad ni a un solo material, etc. De entre los materiales más significativos se encuentran:
Las regletas de Cuisenaire: consta de un conjunto de regletas de madera de 10 tamaños y 10 colores diferentes, siendo la longitud de 1 a 10 cm y la base de 1 cm2. Todas las regletas de un color tienen la misma longitud y cada una representa un número del 1 al 10 según su longitud.
Se emplean para formar series del 1 al 10, para establecer equivalencias, para comprobar la ordenación de la serie numérica, etc. Basándose en la comparación de longitudes trabajar con las relaciones ser mayor que, etc. Realizar distintas seriaciones, introducir la composición y descomposición de los números, iniciar las 4 operaciones aritméticas de forma manipulativa, comprobar las propiedades de las operaciones aritméticas, etc.
Números de lija.
Números recortables.
Puzzles.
Dominós.
Balanza de operaciones.
El Abaco.
El material Dienes – Hull, es el material didáctico más utilizado en la fase prenumérica en actividades de agrupamiento, clasificación y relaciones de cordinabilidad. Consta de 48 piezas de madera o plástico fácilmente manipulables que atienden a 4 atributos: forma, tamaño, color y grosor. Existen varias variantes en el mercado de los bloques lógicos.
En la fase manipulativa, a partir de actividades con los bloques lógicos, el niño los manipula libremente y reconocerá cada bloque, los clasificará atendiendo a un solo criterio (tamaño, forma, color, grosor), los clasificará atendiendo a 2 criterios (forma y tamaño, etc.), realizará seriaciones con distintos criterios, etc.
Son numerosos los materiales didácticos dedicados a ayudar a identificar los números del 0 al 9, a asociar cada numero con la colección de objetos correspondientes, a favorecer la grafía de las cifras, a descubrir la relación de orden entre ellos, a componer y descomponer los números, a facilitar la generalización del concepto de número no asociándolo ni a una sola actividad ni a un solo material, etc. De entre los materiales más significativos se encuentran:
Las regletas de Cuisenaire: consta de un conjunto de regletas de madera de 10 tamaños y 10 colores diferentes, siendo la longitud de 1 a 10 cm y la base de 1 cm2. Todas las regletas de un color tienen la misma longitud y cada una representa un número del 1 al 10 según su longitud.
Se emplean para formar series del 1 al 10, para establecer equivalencias, para comprobar la ordenación de la serie numérica, etc. Basándose en la comparación de longitudes trabajar con las relaciones ser mayor que, etc. Realizar distintas seriaciones, introducir la composición y descomposición de los números, iniciar las 4 operaciones aritméticas de forma manipulativa, comprobar las propiedades de las operaciones aritméticas, etc.
Números de lija.
Números recortables.
Puzzles.
Dominós.
Balanza de operaciones.
El Abaco.
MATEMÁTICAS ESCOLARES Y COMPETENCIA MATEMÁTICA.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
- Definición: ser competente matemáticamente debe relacionarse con ser capaz de realizar determinadas tareas matemáticas y comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, así como la posibilidad de argumentar la conveniencia de su uso.
- Dimensiones:
1.- Comprensión conceptual: capacidad de relacionar conceptos y procedimientos matemáticos en situaciones de resolución de problemas.
2.- Desarrollo de destrezas procedimentales: uso de procedimientos no mecánicos. Si los alumnos comprenden es más difícil que olviden. Si un alumno memoriza loas pasos de un algoritmo sin comprenderlos pero llega a manejarlo eficazmente, luego resulta muy difícil introducirle en la necesidad de comprender por qué funciona. Cuando las destrezas procedimentales se aprenden de manera aislada, son más fáciles de olvidar o de confundir y por tanto se transmite una concepción de las matemáticas escolares como si fueran recetas y que la única forma de aprenderlas es memorizando.
3.- Comunicar, explicar y argumentar matemáticamente: justificar el proceso, es decir, saber explicar lo realizado para que lo entiendan los demás. El desarrollo de esta capacidad ayuda a los alumnos a desarrollar la comprensión conceptual al ser un contexto en el que se establecen relaciones entre conceptos y procesos y desarrolla las destrezas procedimentales.
4.- Pensamiento estratégico: habilidad de los estudiantes de plantearse, representarse y resolver nuevos problemas. Relacionar diferentes nociones que permiten formular el proceso de construcción
5.- Actitudes positivas hacia la propia capacidad matemática. Confianza en uno mismo: verse a uno mismo capaz de resolver los problemas y ser capaz de aprender matemáticas. Se trata de que los alumnos tengan la posibilidad de aportar algo al proceso para que cojan confianza en sí mismos. El desarrollo de actitudes positivas está vinculado al tipo de oportunidades que el maestro presenta en clase y al tipo de tareas matemáticas que se les demanda. Difícilmente un alumno podrá desarrollar actitudes positivas si el único tipo de problemas y tareas que el profesor plantea son algorítmicas.
TAREA MATEMÁTICA
- Definición: conjunto de ejercicios, actividades, problemas, etc. que el maestro puede plantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemática. Los estudiantes aprenden desde lo que hacen en clase. De ahí la importancia de la tarea que el profesor propone.
Tras la presentación de la tarea se define un contexto en el que interactúand el maestro, el contenido matemático y los alumnos.
EL CONTENIDO MATEMÁTICO EN LAS TAREAS
El contenido matemático visto como instrumento de aprendizaje debe ayudar a resolver problemas de varias maneras. Es determinante a la hora de alcanzar competencia matemática. Los instrumentos que los alumnos usan determinan la forma en que el problema es visto. Las tareas planteadas deben ofrecer la oportunidad a los alumnos de problematizar la situación. Es decir, no hay predefinido un procedimiento que hay que aplicar. Así, la tarea permite que los alumnos busquen diferentes procedimientos y para ello está diseñada para que piensen en un proceso de solución más que en aplicar una receta ya dada.
EL AULA DE MATEMÁTICAS
Debe verse como un sistema en el que todos los elementos que interviene ayudan a caracterizarlo.
Características:
- Soporte para la resolución de la tarea: ofrecer ideas, plantear problemas similares o pedir ideas de otros.
- Tiempo para que los alumnos mejoren sus procedimientos al permitirles escuchar e interpretar las respuestas de sus compañeros.
- Nivel de exigencia. El maestro debe mantener la exigencia de que los alumnos proporciones explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecuada los procedimientos seguidos. Así podrá centrar el contenido de las interacciones entre los alumnos y hacerles reflexionar sobre ideas matemáticas importantes.
NORMAS SOCIOMÉTRICAS
La caracterización del aula de matemáticas como un sistema se apoya en el establecimiento de unas determinadas normas que caracterizan el tipo de interacciones que se dan en ese sistema particular.
Algunas de las normas necesarias para facilitar la adquisición de la competencia matemática son:
- Convencimiento de que las ideas expuestas y los métodos usados deben ser valorados por la clase entera.
- Los alumnos deben poder elegir y compartir diferentes métodos de resolución.
- Los errores son aspectos del proceso de aprender.
- La argumentación y explicación matemática es la que fundamenta el error.
- Definición: ser competente matemáticamente debe relacionarse con ser capaz de realizar determinadas tareas matemáticas y comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, así como la posibilidad de argumentar la conveniencia de su uso.
- Dimensiones:
1.- Comprensión conceptual: capacidad de relacionar conceptos y procedimientos matemáticos en situaciones de resolución de problemas.
2.- Desarrollo de destrezas procedimentales: uso de procedimientos no mecánicos. Si los alumnos comprenden es más difícil que olviden. Si un alumno memoriza loas pasos de un algoritmo sin comprenderlos pero llega a manejarlo eficazmente, luego resulta muy difícil introducirle en la necesidad de comprender por qué funciona. Cuando las destrezas procedimentales se aprenden de manera aislada, son más fáciles de olvidar o de confundir y por tanto se transmite una concepción de las matemáticas escolares como si fueran recetas y que la única forma de aprenderlas es memorizando.
3.- Comunicar, explicar y argumentar matemáticamente: justificar el proceso, es decir, saber explicar lo realizado para que lo entiendan los demás. El desarrollo de esta capacidad ayuda a los alumnos a desarrollar la comprensión conceptual al ser un contexto en el que se establecen relaciones entre conceptos y procesos y desarrolla las destrezas procedimentales.
4.- Pensamiento estratégico: habilidad de los estudiantes de plantearse, representarse y resolver nuevos problemas. Relacionar diferentes nociones que permiten formular el proceso de construcción
5.- Actitudes positivas hacia la propia capacidad matemática. Confianza en uno mismo: verse a uno mismo capaz de resolver los problemas y ser capaz de aprender matemáticas. Se trata de que los alumnos tengan la posibilidad de aportar algo al proceso para que cojan confianza en sí mismos. El desarrollo de actitudes positivas está vinculado al tipo de oportunidades que el maestro presenta en clase y al tipo de tareas matemáticas que se les demanda. Difícilmente un alumno podrá desarrollar actitudes positivas si el único tipo de problemas y tareas que el profesor plantea son algorítmicas.
TAREA MATEMÁTICA
- Definición: conjunto de ejercicios, actividades, problemas, etc. que el maestro puede plantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemática. Los estudiantes aprenden desde lo que hacen en clase. De ahí la importancia de la tarea que el profesor propone.
Tras la presentación de la tarea se define un contexto en el que interactúand el maestro, el contenido matemático y los alumnos.
EL CONTENIDO MATEMÁTICO EN LAS TAREAS
El contenido matemático visto como instrumento de aprendizaje debe ayudar a resolver problemas de varias maneras. Es determinante a la hora de alcanzar competencia matemática. Los instrumentos que los alumnos usan determinan la forma en que el problema es visto. Las tareas planteadas deben ofrecer la oportunidad a los alumnos de problematizar la situación. Es decir, no hay predefinido un procedimiento que hay que aplicar. Así, la tarea permite que los alumnos busquen diferentes procedimientos y para ello está diseñada para que piensen en un proceso de solución más que en aplicar una receta ya dada.
EL AULA DE MATEMÁTICAS
Debe verse como un sistema en el que todos los elementos que interviene ayudan a caracterizarlo.
Características:
- Soporte para la resolución de la tarea: ofrecer ideas, plantear problemas similares o pedir ideas de otros.
- Tiempo para que los alumnos mejoren sus procedimientos al permitirles escuchar e interpretar las respuestas de sus compañeros.
- Nivel de exigencia. El maestro debe mantener la exigencia de que los alumnos proporciones explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecuada los procedimientos seguidos. Así podrá centrar el contenido de las interacciones entre los alumnos y hacerles reflexionar sobre ideas matemáticas importantes.
NORMAS SOCIOMÉTRICAS
La caracterización del aula de matemáticas como un sistema se apoya en el establecimiento de unas determinadas normas que caracterizan el tipo de interacciones que se dan en ese sistema particular.
Algunas de las normas necesarias para facilitar la adquisición de la competencia matemática son:
- Convencimiento de que las ideas expuestas y los métodos usados deben ser valorados por la clase entera.
- Los alumnos deben poder elegir y compartir diferentes métodos de resolución.
- Los errores son aspectos del proceso de aprender.
- La argumentación y explicación matemática es la que fundamenta el error.
miércoles, 4 de junio de 2008
CÁLCULO MATEMÁTICO.
1.Cálculo aritmético
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.[],pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.
1.1Algoritmos
Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema específico.
1.1.1 Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.
Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
Algoritmo de la multiplicación
La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.
Algoritmo de la división
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
1.1.2 Algoritmo de potencias y raíces.
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
Así:
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
Raíces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.
La raíz es la operación inversa de la potencia, donde x se llama "radicando" y n "raiz", tratandose de calcular un número tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez. Como ya vimos en clase, bien es cierto que muchos de nosotros(o al menos yo), no recordamos este algoritmo, y en muchas ocasiones se da especial importancia en su aprendizaje, que como se ve luego se acaba olvidando.
2. Cálculo algebraico
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
3.Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral:
Hablamos de cálculo infinitesimal como rama del análisis constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral, fundamentada en el estudio de los cálculos infinitamente pequeños y de los límites.
El desarrollo y uso del cálculo infinitesimal ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.[],pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.
1.1Algoritmos
Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema específico.
1.1.1 Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.
Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
Algoritmo de la multiplicación
La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.
Algoritmo de la división
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
1.1.2 Algoritmo de potencias y raíces.
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
Así:
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
Raíces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.
La raíz es la operación inversa de la potencia, donde x se llama "radicando" y n "raiz", tratandose de calcular un número tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez. Como ya vimos en clase, bien es cierto que muchos de nosotros(o al menos yo), no recordamos este algoritmo, y en muchas ocasiones se da especial importancia en su aprendizaje, que como se ve luego se acaba olvidando.
2. Cálculo algebraico
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
3.Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral:
Hablamos de cálculo infinitesimal como rama del análisis constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral, fundamentada en el estudio de los cálculos infinitamente pequeños y de los límites.
El desarrollo y uso del cálculo infinitesimal ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
lunes, 2 de junio de 2008
--GARCÍA GALDEANO--
Se trasladó a Zaragoza y continuó con la carrera de Perito Agrimensor tasador de tierras y, a continuación, la de Maestro de primera enseñanza, obteniendo el título de Maestro superior. Obtuvo el Grado de Bachiller se matriculó en la Facultad de Filosofía y Letras , ejerciendo además como profesor particular de matemáticas para contribuir al sostenimiento económico de su madre. Obtenidas ambas licenciaturas, fue nombrado catedrático de Cálculo diferencial en ese mismo año y recibió su doctorado en Ciencias.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
--JOSE DE ECHEGARAY --
Ingeniero de Caminos que destacó como dramaturgo (Premio Nobel de Literatura), político (Ministro de Fomento y de Hacienda) y científico (Presidente de la Academia de Ciencias, de la Sociedad Matemática Española y de la Sociedad Española de Física y Química realizó aportaciones a la física-matemática, influyó en el progreso de nuestra matemática. Introdujo en España la geometría de Chasles, la teoría de Galois, las funciones elípticas…
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
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