La matemática en el sector aeronáutico.

En los últimos años hemos asistido a una revolución en el diseño externo que abarca, desde el sector aeronáutico hasta el naval, pasando por la automoción. Esta revolución ha llegado incluso al mundo del deporte.

Elementos menos sofisticados, a priori, como pueden ser los cascos de los ciclistas y el vestuario empleado por los motociclistas de competición, han evolucionado hasta lograr un diseño óptimo aerodinámico que permite al deportista mejorar su rendimiento disminuyendo, a su vez, su esfuerzo y resistencia.

La ardua tarea de los matemáticos en este campo no sólo se centra en la invención de las máquinas en sí, sino además en su diseño óptimo.

El proceso de optimización del diseño se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento de un objeto sólido (el casco o la bicicleta) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance. En los aviones, los vehículos o los barcos se emplean procedimientos similares, teniendo en cuenta las peculiaridades de cada objeto y su medio. Dependiendo del objetivo final a optimizar, variará la denominada “función objetivo”. De esta forma, se puede optimizar la velocidad, la estabilidad del objeto o el gasto de combustible, entre otras posibilidades.

En este sentido, el concepto clave es la optimización o el denominado diseño óptimo, término empleado para designar la investigación de la forma externa de la aeronave que resulte aerodinámicamente más eficiente, dentro de unas determinadas restricciones estructurales. De esta manera, se puede concluir que la disminución de la resistencia al avance de un avión en el aire es un factor clave en la optimización de la forma de la superficie de las aeronaves.
La resistencia al avance se calcula numéricamente mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y, posteriormente y mediante métodos de optimización, se localiza la forma del avión que minimiza la resistencia cumpliendo otros requisitos geométricos y físicos.

En la actualidad, prácticamente todo el proceso de optimización se realiza mediante el empleo del ordenador, por lo que su grado de automatización es muy elevado. A pesar de ello, no se puede prescindir del obligado y costoso paso por el túnel de viento, que se emplea para validar el comportamiento de los diseños identificados como prometedores mediante la simulación computacional. El origen de esta metodología de diseño se remonta a los años 70, en los que comenzó a plantearse el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD en sus siglas inglesas) como herramienta de diseño. Desde entonces, la CFD ha ido adquiriendo una importancia creciente gracias, en gran medida, al desarrollo de algoritmos numéricos cada vez más eficaces y al crecimiento exponencial de la capacidad de cálculo a precios razonables. La aplicación de la teoría matemática del control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales ha permitido crear las condiciones adecuadas para la formulación y resolución de problemas de diseño aerodinámico con un coste computacional asumible.


Generalmente, las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados métodos basados en los gradientes que, de forma resumida, se sistematizan de la siguiente manera:
1. Se define un conjunto de variables de diseño que parametrizan la forma externa de la aeronave.
2. Se define una función objetivo o función coste apropiada. En la práctica suele ser un parámetro numérico cuyo valor se quiere optimizar. La elección de la función objetivo es crucial, pues de ella depende, en gran medida, que se pueda encontrar una configuración óptima. Las funciones objetivo más habituales son: la resistencia al avance de la aeronave, la sustentación del aeroplano y parámetros globales de eficiencia
3. Se calcula el gradiente de la función objetivo con respecto a las variables de diseño. Con dicho gradiente se determina la combinación de variaciones de las variables de diseño que dan lugar a una mejora en el valor de la función objetivo y se deforma la geometría en consecuencia. Este proceso se repite hasta alcanzar una configuración que minimice la función objetivo planteada.

La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación. Los gradientes se calculan entonces como el cociente entre la variación de la función objetivo y la variación de la variable de diseño correspondiente. Desgraciadamente, este procedimiento requiere una simulación numérica del flujo de aire para cada variable de diseño, por lo que si su número es elevado (tal y como sucede normalmente), el coste computacional resulta inasumible, ya que cada simulación, en problemas complejos pero realistas, puede requerir varios días de cómputo en máquinas de alto rendimiento.

La Teoría del Control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales proporciona una solución a los problemas anteriormente planteados. Esta Teoría, desarrollada a partir de los trabajos del matemático francés J.-L. Lions [2], entre otros, se emplea para el cálculo indirecto de los gradientes a partir de la resolución de la denominada ecuación adjunta. El coste computacional requerido para obtener los gradientes de la función objetivo en cada variable de diseño resulta despreciable frente al coste de una simulación del flujo, por lo que dicho coste es, a efectos prácticos, independiente del número de variables de diseño, siendo equivalente al coste de una simulación de flujo y de una resolución numérica de la ecuación adjunta (ecuación lineal y, por tanto de menor complejidad). Esta metodología fue aplicada por primera vez al diseño de perfiles aerodinámicos (secciones de alas) en régimen transónico por A. Jameson, profesor de las Universidades de Pricenton y Stanford, en 1988 [3]. Desde entonces, se ha progresado notablemente en la aplicación de estas técnicas al diseño de aeronaves completas, proporcionando diseños optimizados de alas, configuraciones ala-fuselaje, superficies de cola, góndolas de motores, turbomaquinaria, etcétera.

En la actualidad, los esfuerzos se centran en temas como la mejora de la eficiencia de estos métodos de diseño mediante la búsqueda de algoritmos numéricos eficaces para la resolución de las ecuaciones adjuntas, en un análisis más fino del proceso de optimización en presencia de ondas de choque, en profundizar en el conocimiento y aplicación de la teoría de control al cálculo de gradientes de funciones objetivo de interés aeronáutico, y, por último, en el desarrollo de métodos matemáticos de optimización alternativos, como el uso de derivadas topológicas, las técnicas de level sets, homogeneización, la optimización multiobjetivo y los algoritmos genéticos, entre otros.