1.Cálculo aritmético
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.[],pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.
1.1Algoritmos
Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema específico.
1.1.1 Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.
Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
Algoritmo de la multiplicación
La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.
Algoritmo de la división
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
1.1.2 Algoritmo de potencias y raíces.
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
Así:
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
Raíces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.
La raíz es la operación inversa de la potencia, donde x se llama "radicando" y n "raiz", tratandose de calcular un número tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez. Como ya vimos en clase, bien es cierto que muchos de nosotros(o al menos yo), no recordamos este algoritmo, y en muchas ocasiones se da especial importancia en su aprendizaje, que como se ve luego se acaba olvidando.
2. Cálculo algebraico
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
3.Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral:
Hablamos de cálculo infinitesimal como rama del análisis constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral, fundamentada en el estudio de los cálculos infinitamente pequeños y de los límites.
El desarrollo y uso del cálculo infinitesimal ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
miércoles, 4 de junio de 2008
lunes, 2 de junio de 2008
--GARCÍA GALDEANO--
Se trasladó a Zaragoza y continuó con la carrera de Perito Agrimensor tasador de tierras y, a continuación, la de Maestro de primera enseñanza, obteniendo el título de Maestro superior. Obtuvo el Grado de Bachiller se matriculó en la Facultad de Filosofía y Letras , ejerciendo además como profesor particular de matemáticas para contribuir al sostenimiento económico de su madre. Obtenidas ambas licenciaturas, fue nombrado catedrático de Cálculo diferencial en ese mismo año y recibió su doctorado en Ciencias.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
Crea la primera revista matemática
Fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso de las Matemáticas, la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española en semejanza con el contexto internacional.
Fue el primer matemático español contemporáneo que participó en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional Zurich, Heidelberg, Roma o Cambridge miembro del Comité Internacional del Congreso.
Consigue el reconocimiento del castellano entre los idiomas oficiales
Galdeano fue el primer español Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. Asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, fue elegido miembro de la Comisión Permanente, este congreso decidió incluir el español entre los idiomas oficiales para recoger los títulos de los trabajos en el futuro
Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX.
--JOSE DE ECHEGARAY --
Ingeniero de Caminos que destacó como dramaturgo (Premio Nobel de Literatura), político (Ministro de Fomento y de Hacienda) y científico (Presidente de la Academia de Ciencias, de la Sociedad Matemática Española y de la Sociedad Española de Física y Química realizó aportaciones a la física-matemática, influyó en el progreso de nuestra matemática. Introdujo en España la geometría de Chasles, la teoría de Galois, las funciones elípticas…
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
Pionero en temas no conocidos en España
Su vida profesional, se centra en tres facetas: científica, política y literaria.
En 1858 publica su Cálculo de Variaciones, tema casi desconocido en nuestro país, realiza viajes a Europa relacionados con asuntos de ingeniería y publica Problemas de Geometría plana y Problemas de Geometría analítica.
En 1867 publica Teorías Modernas de la Física e Introducción a la Geometría Superior, donde da a conocer en nuestro país la geometría de Chasles; y, al año siguiente, Memoria sobre la teoría de los Determinantes, primera obra española sobre este tema, y Tratado elemental de Termodinámica.
Su reconocimiento es total:
Primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, catedrático de Física matemática de la Universidad Central.
En 1907, a propuesta de Ramón y Cajal, la Academia de Ciencias crea la “Medalla Echegaray”, la primera de las cuales le es concedida al propio Echegaray; preside la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias; es elegido primer Presidente de la Sociedad Matemática Española, cargo que desempeña hasta su fallecimiento. Destacó en campos tan diversos debido a su gran capacidad de trabajo.
Para la Matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray, hizo avanzar el nivel de nuestras matemáticas, introduciendo diversas teorías que eran de actualidad en Europa y liderando el movimiento de renovación.
Así como el nacimiento de Echegaray coincide con el inicio de una época de progreso, también en el terreno matemático, parece como si su muerte se correspondiera igualmente con el final de aquélla.
El primer matemático español que acude a congresos internacionales:
--SIXTO CÁMARA TECEDOR
Estuvo presente en La Asociación Española para el Progreso de las Ciencias, la Sociedad Matemática Española y el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para la Ampliación de Estudios.
Sus trabajos de investigación abarcan diferentes campos de la matemática: geometría sintética, geometría analítica, álgebra, aplicaciones a la balística, estadística y cálculo de probabilidades de cuya introducción en España fue uno de los pioneros.
Fue Catedrático de Geometría analítica de las Universidades de Valencia y Madrid, durante años el nombre de Cámara estuvo asociado a su obra fundamental: Elementos de Geometría Analítica.
Las matemáticas frente a la formación militar.
Su formación militar fue muy escasa, a los 24 años de edad, empezó a estudiar Ciencias Exactas en la Universidad de Zaragoza
obtuvo el grado de Licenciado y alcanzó el grado de Doctor en la Universidad Central de Madrid.
Un año después ascendió a Capitán y cuatro más tarde ganó una plaza de Auxiliar en la Universidad Central , que significó su instalación definitiva en la profesión matemática y el abandono de la militar.
- Aplicación matemática a proyectiles y balas.
Los primeros trabajos están relacionados con su tesis doctoral, realizada en la escuela de geometría sintética. La escuela desarrollaba un tipo de geometría muy teórica, sin fórmulas algebraicas, con escasas aplicaciones prácticas
De matemática aplicada deben calificarse sus trabajos sobre balística, el empleo de la nomografía (reducir los cálculos a la simple lectura de unas tablas gráficas llamadas nomogramas o ábacos) y de métodos estadísticos. Su trabajo más importante: “Estudio gráfico de la curva balística cualquiera que sea la ley de resistencia del aire. Método Pascal”
Cámara estudió la forma en que los proyectiles se agrupan en el blanco, lo que puede ser el origen de su interés por los métodos estadísticos
Aunque explicó otras materias, siempre tuvo una dedicación preferente a la enseñanza de la geometría analítica, editó un resumen autografiado de sus lecciones, la prioridad de la geometría euclidea con el empleó del método vectorial, el uso de los grupos de transformaciones para la presentación de las geometrías y sus invariantes, y la aparición frecuente de aplicaciones a otras ciencias.
Un dramaturgo, politico y científico y además tiene su propia medalla.
Sus trabajos de investigación abarcan diferentes campos de la matemática: geometría sintética, geometría analítica, álgebra, aplicaciones a la balística, estadística y cálculo de probabilidades de cuya introducción en España fue uno de los pioneros.
Fue Catedrático de Geometría analítica de las Universidades de Valencia y Madrid, durante años el nombre de Cámara estuvo asociado a su obra fundamental: Elementos de Geometría Analítica.
Las matemáticas frente a la formación militar.
Su formación militar fue muy escasa, a los 24 años de edad, empezó a estudiar Ciencias Exactas en la Universidad de Zaragoza
obtuvo el grado de Licenciado y alcanzó el grado de Doctor en la Universidad Central de Madrid.
Un año después ascendió a Capitán y cuatro más tarde ganó una plaza de Auxiliar en la Universidad Central , que significó su instalación definitiva en la profesión matemática y el abandono de la militar.
- Aplicación matemática a proyectiles y balas.
Los primeros trabajos están relacionados con su tesis doctoral, realizada en la escuela de geometría sintética. La escuela desarrollaba un tipo de geometría muy teórica, sin fórmulas algebraicas, con escasas aplicaciones prácticas
De matemática aplicada deben calificarse sus trabajos sobre balística, el empleo de la nomografía (reducir los cálculos a la simple lectura de unas tablas gráficas llamadas nomogramas o ábacos) y de métodos estadísticos. Su trabajo más importante: “Estudio gráfico de la curva balística cualquiera que sea la ley de resistencia del aire. Método Pascal”
Cámara estudió la forma en que los proyectiles se agrupan en el blanco, lo que puede ser el origen de su interés por los métodos estadísticos
Aunque explicó otras materias, siempre tuvo una dedicación preferente a la enseñanza de la geometría analítica, editó un resumen autografiado de sus lecciones, la prioridad de la geometría euclidea con el empleó del método vectorial, el uso de los grupos de transformaciones para la presentación de las geometrías y sus invariantes, y la aparición frecuente de aplicaciones a otras ciencias.
Un dramaturgo, politico y científico y además tiene su propia medalla.
--JOSE BARINAGA MATA--
Licenciado, doctorado y catedrático, rotas sus inquietudes por una guerra:
Fue alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid. En la Revista de la Sociedad Matemática Española muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales
- una etapa llena de reconocimientos y méritos.
Tras licenciarse en matemáticas cursa el doctorado y en 1929 defiende su tesis y gana el primer premio extraordinario de doctorado
Fue auxiliar de Análisis Matemático 2º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 gana la Cátedra de Análisis Matemático 1º y 2º cursos de la Universidad de Barcelona.
En 1931 gana la cátedra de Análisis Matemático 1º de la Universidad Central de Madrid
Fue colaborador en los coloquios matemáticos organizados por el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones
Durante la guerra civil Barinaga se hizo cargo de la dirección del Laboratorio y permaneció al frente del mismo hasta su desaparición; pasó toda la guerra en Madrid, fiel al legítimo gobierno de la República.
A sus 49 años comenzó a ganarse la vida en la enseñanza privada, en las academias preparatorias de su juventud, y así durante casi siete años, hasta su rehabilitación en 1946. Catorce años, hasta su jubilación en 1960
Durante años contribuyó en la nueva revista de estudiantes bajo el título de Matemática Elemental (1931-36). Su implicación en la Sociedad Matemática Española corría pareja a su integración en el Laboratorio y Seminario Matemático
Fue alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid. En la Revista de la Sociedad Matemática Española muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales
- una etapa llena de reconocimientos y méritos.
Tras licenciarse en matemáticas cursa el doctorado y en 1929 defiende su tesis y gana el primer premio extraordinario de doctorado
Fue auxiliar de Análisis Matemático 2º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 gana la Cátedra de Análisis Matemático 1º y 2º cursos de la Universidad de Barcelona.
En 1931 gana la cátedra de Análisis Matemático 1º de la Universidad Central de Madrid
Fue colaborador en los coloquios matemáticos organizados por el Laboratorio y Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones
Durante la guerra civil Barinaga se hizo cargo de la dirección del Laboratorio y permaneció al frente del mismo hasta su desaparición; pasó toda la guerra en Madrid, fiel al legítimo gobierno de la República.
A sus 49 años comenzó a ganarse la vida en la enseñanza privada, en las academias preparatorias de su juventud, y así durante casi siete años, hasta su rehabilitación en 1946. Catorce años, hasta su jubilación en 1960
Durante años contribuyó en la nueva revista de estudiantes bajo el título de Matemática Elemental (1931-36). Su implicación en la Sociedad Matemática Española corría pareja a su integración en el Laboratorio y Seminario Matemático
La matemática en el sector aeronáutico.
En los últimos años hemos asistido a una revolución en el diseño externo que abarca, desde el sector aeronáutico hasta el naval, pasando por la automoción. Esta revolución ha llegado incluso al mundo del deporte.
Elementos menos sofisticados, a priori, como pueden ser los cascos de los ciclistas y el vestuario empleado por los motociclistas de competición, han evolucionado hasta lograr un diseño óptimo aerodinámico que permite al deportista mejorar su rendimiento disminuyendo, a su vez, su esfuerzo y resistencia.
La ardua tarea de los matemáticos en este campo no sólo se centra en la invención de las máquinas en sí, sino además en su diseño óptimo.
El proceso de optimización del diseño se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento de un objeto sólido (el casco o la bicicleta) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance. En los aviones, los vehículos o los barcos se emplean procedimientos similares, teniendo en cuenta las peculiaridades de cada objeto y su medio. Dependiendo del objetivo final a optimizar, variará la denominada “función objetivo”. De esta forma, se puede optimizar la velocidad, la estabilidad del objeto o el gasto de combustible, entre otras posibilidades.
En este sentido, el concepto clave es la optimización o el denominado diseño óptimo, término empleado para designar la investigación de la forma externa de la aeronave que resulte aerodinámicamente más eficiente, dentro de unas determinadas restricciones estructurales. De esta manera, se puede concluir que la disminución de la resistencia al avance de un avión en el aire es un factor clave en la optimización de la forma de la superficie de las aeronaves.
La resistencia al avance se calcula numéricamente mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y, posteriormente y mediante métodos de optimización, se localiza la forma del avión que minimiza la resistencia cumpliendo otros requisitos geométricos y físicos.
En la actualidad, prácticamente todo el proceso de optimización se realiza mediante el empleo del ordenador, por lo que su grado de automatización es muy elevado. A pesar de ello, no se puede prescindir del obligado y costoso paso por el túnel de viento, que se emplea para validar el comportamiento de los diseños identificados como prometedores mediante la simulación computacional. El origen de esta metodología de diseño se remonta a los años 70, en los que comenzó a plantearse el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD en sus siglas inglesas) como herramienta de diseño. Desde entonces, la CFD ha ido adquiriendo una importancia creciente gracias, en gran medida, al desarrollo de algoritmos numéricos cada vez más eficaces y al crecimiento exponencial de la capacidad de cálculo a precios razonables. La aplicación de la teoría matemática del control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales ha permitido crear las condiciones adecuadas para la formulación y resolución de problemas de diseño aerodinámico con un coste computacional asumible.
Generalmente, las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados métodos basados en los gradientes que, de forma resumida, se sistematizan de la siguiente manera:
1. Se define un conjunto de variables de diseño que parametrizan la forma externa de la aeronave.
2. Se define una función objetivo o función coste apropiada. En la práctica suele ser un parámetro numérico cuyo valor se quiere optimizar. La elección de la función objetivo es crucial, pues de ella depende, en gran medida, que se pueda encontrar una configuración óptima. Las funciones objetivo más habituales son: la resistencia al avance de la aeronave, la sustentación del aeroplano y parámetros globales de eficiencia
3. Se calcula el gradiente de la función objetivo con respecto a las variables de diseño. Con dicho gradiente se determina la combinación de variaciones de las variables de diseño que dan lugar a una mejora en el valor de la función objetivo y se deforma la geometría en consecuencia. Este proceso se repite hasta alcanzar una configuración que minimice la función objetivo planteada.
La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación. Los gradientes se calculan entonces como el cociente entre la variación de la función objetivo y la variación de la variable de diseño correspondiente. Desgraciadamente, este procedimiento requiere una simulación numérica del flujo de aire para cada variable de diseño, por lo que si su número es elevado (tal y como sucede normalmente), el coste computacional resulta inasumible, ya que cada simulación, en problemas complejos pero realistas, puede requerir varios días de cómputo en máquinas de alto rendimiento.
La Teoría del Control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales proporciona una solución a los problemas anteriormente planteados. Esta Teoría, desarrollada a partir de los trabajos del matemático francés J.-L. Lions [2], entre otros, se emplea para el cálculo indirecto de los gradientes a partir de la resolución de la denominada ecuación adjunta. El coste computacional requerido para obtener los gradientes de la función objetivo en cada variable de diseño resulta despreciable frente al coste de una simulación del flujo, por lo que dicho coste es, a efectos prácticos, independiente del número de variables de diseño, siendo equivalente al coste de una simulación de flujo y de una resolución numérica de la ecuación adjunta (ecuación lineal y, por tanto de menor complejidad). Esta metodología fue aplicada por primera vez al diseño de perfiles aerodinámicos (secciones de alas) en régimen transónico por A. Jameson, profesor de las Universidades de Pricenton y Stanford, en 1988 [3]. Desde entonces, se ha progresado notablemente en la aplicación de estas técnicas al diseño de aeronaves completas, proporcionando diseños optimizados de alas, configuraciones ala-fuselaje, superficies de cola, góndolas de motores, turbomaquinaria, etcétera.
En la actualidad, los esfuerzos se centran en temas como la mejora de la eficiencia de estos métodos de diseño mediante la búsqueda de algoritmos numéricos eficaces para la resolución de las ecuaciones adjuntas, en un análisis más fino del proceso de optimización en presencia de ondas de choque, en profundizar en el conocimiento y aplicación de la teoría de control al cálculo de gradientes de funciones objetivo de interés aeronáutico, y, por último, en el desarrollo de métodos matemáticos de optimización alternativos, como el uso de derivadas topológicas, las técnicas de level sets, homogeneización, la optimización multiobjetivo y los algoritmos genéticos, entre otros.
Elementos menos sofisticados, a priori, como pueden ser los cascos de los ciclistas y el vestuario empleado por los motociclistas de competición, han evolucionado hasta lograr un diseño óptimo aerodinámico que permite al deportista mejorar su rendimiento disminuyendo, a su vez, su esfuerzo y resistencia.
La ardua tarea de los matemáticos en este campo no sólo se centra en la invención de las máquinas en sí, sino además en su diseño óptimo.
El proceso de optimización del diseño se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento de un objeto sólido (el casco o la bicicleta) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance. En los aviones, los vehículos o los barcos se emplean procedimientos similares, teniendo en cuenta las peculiaridades de cada objeto y su medio. Dependiendo del objetivo final a optimizar, variará la denominada “función objetivo”. De esta forma, se puede optimizar la velocidad, la estabilidad del objeto o el gasto de combustible, entre otras posibilidades.
En este sentido, el concepto clave es la optimización o el denominado diseño óptimo, término empleado para designar la investigación de la forma externa de la aeronave que resulte aerodinámicamente más eficiente, dentro de unas determinadas restricciones estructurales. De esta manera, se puede concluir que la disminución de la resistencia al avance de un avión en el aire es un factor clave en la optimización de la forma de la superficie de las aeronaves.
La resistencia al avance se calcula numéricamente mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y, posteriormente y mediante métodos de optimización, se localiza la forma del avión que minimiza la resistencia cumpliendo otros requisitos geométricos y físicos.
En la actualidad, prácticamente todo el proceso de optimización se realiza mediante el empleo del ordenador, por lo que su grado de automatización es muy elevado. A pesar de ello, no se puede prescindir del obligado y costoso paso por el túnel de viento, que se emplea para validar el comportamiento de los diseños identificados como prometedores mediante la simulación computacional. El origen de esta metodología de diseño se remonta a los años 70, en los que comenzó a plantearse el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD en sus siglas inglesas) como herramienta de diseño. Desde entonces, la CFD ha ido adquiriendo una importancia creciente gracias, en gran medida, al desarrollo de algoritmos numéricos cada vez más eficaces y al crecimiento exponencial de la capacidad de cálculo a precios razonables. La aplicación de la teoría matemática del control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales ha permitido crear las condiciones adecuadas para la formulación y resolución de problemas de diseño aerodinámico con un coste computacional asumible.
Generalmente, las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados métodos basados en los gradientes que, de forma resumida, se sistematizan de la siguiente manera:
1. Se define un conjunto de variables de diseño que parametrizan la forma externa de la aeronave.
2. Se define una función objetivo o función coste apropiada. En la práctica suele ser un parámetro numérico cuyo valor se quiere optimizar. La elección de la función objetivo es crucial, pues de ella depende, en gran medida, que se pueda encontrar una configuración óptima. Las funciones objetivo más habituales son: la resistencia al avance de la aeronave, la sustentación del aeroplano y parámetros globales de eficiencia
3. Se calcula el gradiente de la función objetivo con respecto a las variables de diseño. Con dicho gradiente se determina la combinación de variaciones de las variables de diseño que dan lugar a una mejora en el valor de la función objetivo y se deforma la geometría en consecuencia. Este proceso se repite hasta alcanzar una configuración que minimice la función objetivo planteada.
La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación. Los gradientes se calculan entonces como el cociente entre la variación de la función objetivo y la variación de la variable de diseño correspondiente. Desgraciadamente, este procedimiento requiere una simulación numérica del flujo de aire para cada variable de diseño, por lo que si su número es elevado (tal y como sucede normalmente), el coste computacional resulta inasumible, ya que cada simulación, en problemas complejos pero realistas, puede requerir varios días de cómputo en máquinas de alto rendimiento.
La Teoría del Control de sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales proporciona una solución a los problemas anteriormente planteados. Esta Teoría, desarrollada a partir de los trabajos del matemático francés J.-L. Lions [2], entre otros, se emplea para el cálculo indirecto de los gradientes a partir de la resolución de la denominada ecuación adjunta. El coste computacional requerido para obtener los gradientes de la función objetivo en cada variable de diseño resulta despreciable frente al coste de una simulación del flujo, por lo que dicho coste es, a efectos prácticos, independiente del número de variables de diseño, siendo equivalente al coste de una simulación de flujo y de una resolución numérica de la ecuación adjunta (ecuación lineal y, por tanto de menor complejidad). Esta metodología fue aplicada por primera vez al diseño de perfiles aerodinámicos (secciones de alas) en régimen transónico por A. Jameson, profesor de las Universidades de Pricenton y Stanford, en 1988 [3]. Desde entonces, se ha progresado notablemente en la aplicación de estas técnicas al diseño de aeronaves completas, proporcionando diseños optimizados de alas, configuraciones ala-fuselaje, superficies de cola, góndolas de motores, turbomaquinaria, etcétera.
En la actualidad, los esfuerzos se centran en temas como la mejora de la eficiencia de estos métodos de diseño mediante la búsqueda de algoritmos numéricos eficaces para la resolución de las ecuaciones adjuntas, en un análisis más fino del proceso de optimización en presencia de ondas de choque, en profundizar en el conocimiento y aplicación de la teoría de control al cálculo de gradientes de funciones objetivo de interés aeronáutico, y, por último, en el desarrollo de métodos matemáticos de optimización alternativos, como el uso de derivadas topológicas, las técnicas de level sets, homogeneización, la optimización multiobjetivo y los algoritmos genéticos, entre otros.
PROGRAMACIÓN DE ORDENADORES.
LOS ORDENADORES Y LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL
¿Qué es un ordenador? ¿Deben forzosamente estar construidos con componentes electrónicos? ¿Que es la inteligencia? ¿Puede razonar una máquina? ¿Puede pensar una máquina? ¿Cuáles son los límites de la computación? ¿Pueden llegar a comprender los lenguajes que utilizan los humanos? ¿Son los humanos una implantación de la idea de ordenador? ¿Qué cambios sociales implica la aparición de internet?
Algunas respuestas vienen de la rama conocida como "computability", otras del campo de la "Inteligencia Artificial". La primera rama aporta los Fundamentos Matemáticos de la Computación. Probablemente sea Alan Mathison Turing la figura mas conocida en este campo.
El mundo de la informática actual es un mundo de "capas". Cada capa es una combinación de hardware/software, experimento/teoría, que se apoya en otra más interior.
Por encima de la tecnología, y basándose en ella, se sitúa la disciplina que estudia su construcción: la arquitectura de ordenadores. Precursores ilustres de ésta área fueron Leibnitz, Pascal, Babbage, Zuse y von Neumann. Las matemáticas son la base de todo descubrimiento científico.
La aparición de los microprocesadores (St. Clair, Kilby) y la comercialización de las microcomputadores (la familia Intel, los IBM PC) han hecho posible la espectacular difusión a la que hemos asistido en el último cuarto de siglo.
Los sistemas operativos constituyen la siguiente capa. Unix y Windows son los mas conocidos. Los nombres vinculados a ésta área incluyen entre otros a Dennis M. Ritchie, Kenneth Thompson, B. Hansen, Tanembaum, B. Gates y Linus Benedict Torvalds.
Los lenguajes de programación y las herramientas software permiten la construcción de las aplicaciones que todos conocemos. La teoría y la práctica en este campo deben mucho a K. Zuse, John Backus, Grace Hopper, D. Ritchie, B. Kernighan, N. Wirth, John McCarthy, Alain Colmerauer, Phillip Roussel y Bjarne Stroustrup.
Los ordenadores se comunican entre sí a través de redes. Estas pueden ser de área local o de área extensa. La aparición de internet como red universal, global, ha incrementado la capacidad de servicio y de relación de las instituciones y los individuos. Esta aparición también afecta de forma esencial al concepto mismo de ordenador y a la aparición de un nuevo concepto: la "grid".
¿Qué es un ordenador? ¿Deben forzosamente estar construidos con componentes electrónicos? ¿Que es la inteligencia? ¿Puede razonar una máquina? ¿Puede pensar una máquina? ¿Cuáles son los límites de la computación? ¿Pueden llegar a comprender los lenguajes que utilizan los humanos? ¿Son los humanos una implantación de la idea de ordenador? ¿Qué cambios sociales implica la aparición de internet?
Algunas respuestas vienen de la rama conocida como "computability", otras del campo de la "Inteligencia Artificial". La primera rama aporta los Fundamentos Matemáticos de la Computación. Probablemente sea Alan Mathison Turing la figura mas conocida en este campo.
El mundo de la informática actual es un mundo de "capas". Cada capa es una combinación de hardware/software, experimento/teoría, que se apoya en otra más interior.
Por encima de la tecnología, y basándose en ella, se sitúa la disciplina que estudia su construcción: la arquitectura de ordenadores. Precursores ilustres de ésta área fueron Leibnitz, Pascal, Babbage, Zuse y von Neumann. Las matemáticas son la base de todo descubrimiento científico.
La aparición de los microprocesadores (St. Clair, Kilby) y la comercialización de las microcomputadores (la familia Intel, los IBM PC) han hecho posible la espectacular difusión a la que hemos asistido en el último cuarto de siglo.
Los sistemas operativos constituyen la siguiente capa. Unix y Windows son los mas conocidos. Los nombres vinculados a ésta área incluyen entre otros a Dennis M. Ritchie, Kenneth Thompson, B. Hansen, Tanembaum, B. Gates y Linus Benedict Torvalds.
Los lenguajes de programación y las herramientas software permiten la construcción de las aplicaciones que todos conocemos. La teoría y la práctica en este campo deben mucho a K. Zuse, John Backus, Grace Hopper, D. Ritchie, B. Kernighan, N. Wirth, John McCarthy, Alain Colmerauer, Phillip Roussel y Bjarne Stroustrup.
Los ordenadores se comunican entre sí a través de redes. Estas pueden ser de área local o de área extensa. La aparición de internet como red universal, global, ha incrementado la capacidad de servicio y de relación de las instituciones y los individuos. Esta aparición también afecta de forma esencial al concepto mismo de ordenador y a la aparición de un nuevo concepto: la "grid".
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