miércoles, 28 de mayo de 2008
DEFINICIÓN ALGEBRAICA
El amor es una ecuación perfecta: se eleva un miembro a la mayor potencia posible, se le encierra entre paréntesis, se le extrae el factor común, y queda reducido a la menor expresión.
PREGUNTA EN CLASE.
El maestro.- "A ver, Jaimito, contesta rápidamente: ¿Cuántos son dos y dos?".
Jaimito.- "Cinco".
El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?".
Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".
Jaimito.- "Cinco".
El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?".
Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".
• MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES: SIGLOS XVI, XVII y XVIII.
o Siglo XVI:
Europa Occidental ya había recuperado la mayoría de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada. Con lo que, ya estaban casi preparados para llevar a cabo ciertos avances que superaran las anteriores contribuciones. Esta etapa de transición del Renacimiento al mundo moderno la formaron, también en gran medida, figuras intermedias como: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.
o Siglo XVII: Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, además se comenzó a realizar las publicaciones periódicas. Y se produjo un cambio, en donde se complementaba el estudio de los números con el estudio de los movimientos y transformaciones.
Geometría Analítica:
• Descartes (1596-1650):
o Discurso del Método:
Ecuaciones cuadráticas.
Curvas.
Teoría general de las ecuaciones.
• Fermat (1601-1655):
o Teoría de los lugares planos:
Representaciones gráficas.
Transformaciones geométricas.
Geometría espacial.
Métodos Integrales y Diferenciales:
• Cavalieri:
o Geometría de los indivisibles.
• Galileo y Torricelli:
o Determinar tangentes a curva.
• Fermat:
o Búsqueda de máximos y mínimos.
o Condiciones de existencia raíces múltiples en ecuaciones.
Análisis Infinitesimal:
• Newton:
o Teoría de fluxiones
Teoría de Probabilidades:
• Destacaron:
• Las investigaciones combinatorias
• El concepto de esperanza matemática, que tenía que ver con el problema del reparto de los sueldos.
• Jo. Bernuilli, al final del s. XVII descubrió la forma más simple de la ley de los números generales (publicado en 1713, “Ley de los grandes números”).
o Siglo: XVIII:
Análisis Matemático:
• Cálculo diferencial:
o Señalamos en 1711 a Newton que introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x).
• Cálculo integral:
o Jo. Bernoulli, quién escribió el primer curso matemático de cálculo integral, en 1742.
o Euler, llegó a conseguir los métodos de integración indefinida, casi con el nivel que tenemos hoy en día.
o Integración de funciones espaciales.
• Ecuaciones diferenciales:
o Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo.
o D’Alembert encontró la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea.
o A finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales.
Geometría:
• Geometría analítica:
o Se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.
o Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", y Euler con su obra “Introducción al análisis…”, quienes clasificasen las curvas conocidas.
• Geometría diferencial:
o Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc…
o El matemático que consiguió eclipsar prácticamente el resto de trabajos en este siglo (en esta rama) fue Euler, con logros como la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie.
• Geometría descriptiva y proyectiva:
o Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial.
o Se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive".
Análisis numérico:
• Aritmética universal de Newton (1707):
o Teoría general de ecuaciones.
o Raíces de ecuaciones.
o Determinación del número de raíces reales del polinomio.
o La cota superior de raíces positivas del polinomio.
• Aritmética universal de Euler (1768):
o Desarrollo de la simbología algebraica.
o Admisión definitiva de los números irracionales.
o Teorías de congruencias.
o Análisis diofántico.
o Teoría de las fracciones continuas.
• Teoría de las probabilidades:
o En donde el mayor partícipe fue Laplace. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades" publicada en 1812.
o Siglo XIX: Álgebra moderna.
• Teoría general de ecuaciones algebraicas.
• Teorías de grupos.
• Álgebra lineal.
Análisis matemático.
• Teoría de límites.
• Teoría de funciones.
• Teoría de número real y Teoría de conjuntos.
Teoría general de las funciones complejas:
• A la que contribuyeron en su confección:
o Gauss.
o Rieman.
o Weierstrass.
o Cauchy.
Geometrías no euclidianas:
• Elaboradas por:
o Bolyai.
o Lovachevski.
o Rieman.
Transformaciones geométricas:
• Que corrieron por cuenta de:
o Desartes.
o Pascal.
o Poncelet.
Europa Occidental ya había recuperado la mayoría de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada. Con lo que, ya estaban casi preparados para llevar a cabo ciertos avances que superaran las anteriores contribuciones. Esta etapa de transición del Renacimiento al mundo moderno la formaron, también en gran medida, figuras intermedias como: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.
o Siglo XVII: Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, además se comenzó a realizar las publicaciones periódicas. Y se produjo un cambio, en donde se complementaba el estudio de los números con el estudio de los movimientos y transformaciones.
Geometría Analítica:
• Descartes (1596-1650):
o Discurso del Método:
Ecuaciones cuadráticas.
Curvas.
Teoría general de las ecuaciones.
• Fermat (1601-1655):
o Teoría de los lugares planos:
Representaciones gráficas.
Transformaciones geométricas.
Geometría espacial.
Métodos Integrales y Diferenciales:
• Cavalieri:
o Geometría de los indivisibles.
• Galileo y Torricelli:
o Determinar tangentes a curva.
• Fermat:
o Búsqueda de máximos y mínimos.
o Condiciones de existencia raíces múltiples en ecuaciones.
Análisis Infinitesimal:
• Newton:
o Teoría de fluxiones
Teoría de Probabilidades:
• Destacaron:
• Las investigaciones combinatorias
• El concepto de esperanza matemática, que tenía que ver con el problema del reparto de los sueldos.
• Jo. Bernuilli, al final del s. XVII descubrió la forma más simple de la ley de los números generales (publicado en 1713, “Ley de los grandes números”).
o Siglo: XVIII:
Análisis Matemático:
• Cálculo diferencial:
o Señalamos en 1711 a Newton que introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x).
• Cálculo integral:
o Jo. Bernoulli, quién escribió el primer curso matemático de cálculo integral, en 1742.
o Euler, llegó a conseguir los métodos de integración indefinida, casi con el nivel que tenemos hoy en día.
o Integración de funciones espaciales.
• Ecuaciones diferenciales:
o Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo.
o D’Alembert encontró la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea.
o A finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales.
Geometría:
• Geometría analítica:
o Se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.
o Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", y Euler con su obra “Introducción al análisis…”, quienes clasificasen las curvas conocidas.
• Geometría diferencial:
o Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc…
o El matemático que consiguió eclipsar prácticamente el resto de trabajos en este siglo (en esta rama) fue Euler, con logros como la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie.
• Geometría descriptiva y proyectiva:
o Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial.
o Se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive".
Análisis numérico:
• Aritmética universal de Newton (1707):
o Teoría general de ecuaciones.
o Raíces de ecuaciones.
o Determinación del número de raíces reales del polinomio.
o La cota superior de raíces positivas del polinomio.
• Aritmética universal de Euler (1768):
o Desarrollo de la simbología algebraica.
o Admisión definitiva de los números irracionales.
o Teorías de congruencias.
o Análisis diofántico.
o Teoría de las fracciones continuas.
• Teoría de las probabilidades:
o En donde el mayor partícipe fue Laplace. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades" publicada en 1812.
o Siglo XIX: Álgebra moderna.
• Teoría general de ecuaciones algebraicas.
• Teorías de grupos.
• Álgebra lineal.
Análisis matemático.
• Teoría de límites.
• Teoría de funciones.
• Teoría de número real y Teoría de conjuntos.
Teoría general de las funciones complejas:
• A la que contribuyeron en su confección:
o Gauss.
o Rieman.
o Weierstrass.
o Cauchy.
Geometrías no euclidianas:
• Elaboradas por:
o Bolyai.
o Lovachevski.
o Rieman.
Transformaciones geométricas:
• Que corrieron por cuenta de:
o Desartes.
o Pascal.
o Poncelet.
MATEMÁTICAS ELEMENTALES:
Este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000 años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico griego, pero en el siglo VII ya no produce obras originales.
En estas condiciones surgen los árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de cálculo y algoritmos especiales.
En el continente europeo, solo se empezaron a conseguir éxitos notables en la época del Medievo y especialmente en el Renacimiento.
o Imperio Musulmán: Fundación de escuelas por todo el imperio.
Estudio de las obras griegas.
Infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:
• Cálculo y aproximaciones de raíces.
• Suma de progresiones aritméticas y geométricas.
• Ecuaciones de primer, segundo y tercer grado.
Esbozo del nacimiento del número real.
Formación de la trigonometría.
o Europa Medieval y El Renacimiento:
Creación de centros de enseñanza.
Traducción de las obras árabes.
Matemáticos:
• Fibonacci (1180-1250).
o Cálculo numérico,
o fracciones,
o proporcionalidad,
o progresiones
o …
• Oresmes (1328-1382).
o Exponentes fraccionarios.
• Cardano (1501-1576).
o Divisibilidad polinómica (x-a).
o Resolución ecuaciones grado 3º y 4º.
• Regionomanto (1436-1474).
o Triángulos
o Radicales
o …
• Viéte (1540-1603).
o Simbología algebraica.
• Neper (1550-1617) y Bringgs (1550-1630).
o Sistema logarítmico.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico griego, pero en el siglo VII ya no produce obras originales.
En estas condiciones surgen los árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de cálculo y algoritmos especiales.
En el continente europeo, solo se empezaron a conseguir éxitos notables en la época del Medievo y especialmente en el Renacimiento.
o Imperio Musulmán: Fundación de escuelas por todo el imperio.
Estudio de las obras griegas.
Infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:
• Cálculo y aproximaciones de raíces.
• Suma de progresiones aritméticas y geométricas.
• Ecuaciones de primer, segundo y tercer grado.
Esbozo del nacimiento del número real.
Formación de la trigonometría.
o Europa Medieval y El Renacimiento:
Creación de centros de enseñanza.
Traducción de las obras árabes.
Matemáticos:
• Fibonacci (1180-1250).
o Cálculo numérico,
o fracciones,
o proporcionalidad,
o progresiones
o …
• Oresmes (1328-1382).
o Exponentes fraccionarios.
• Cardano (1501-1576).
o Divisibilidad polinómica (x-a).
o Resolución ecuaciones grado 3º y 4º.
• Regionomanto (1436-1474).
o Triángulos
o Radicales
o …
• Viéte (1540-1603).
o Simbología algebraica.
• Neper (1550-1617) y Bringgs (1550-1630).
o Sistema logarítmico.
NACIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS:
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.
Civilización Egipcia:
Sistema de numeración similar al romano.
Fracciones sencillas
Suma de enteros.
Ecuaciones de primer grado.
Cálculo de primer grado.
Cálculo de áreas y volúmenes elementales.
o Mesopotamia o Antigua Babilonia:
Eficaz sistema de notación fraccionaria.
Numero inverso.
Ecuaciones cuadráticas.
Sistema de dos ecuaciones.
o China Antigua:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces polinómicas.
Elementos básicos de combinatoria.
o India Antigua:
Reglas aritméticas de cálculo.
Resolución de ecuaciones.
Sistema de numeración decimal.
o Grecia:
Duracion de esta época fue menor a cuatro siglos.
Los matemáticos se agrupaban en escuelas.
Aparicion de la "logística" como tal.
La aritmética fue separada en una rama independiente.
Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Se consideraron, el teorema de Pitágoras, la cuadratura del círculo…
Se descubrió la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Dando lugar al álgebra numérica. Algoritmo de Euclides.
Una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides, constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores.
Métodos infinitesimales: investigan los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad…
Aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomicistas. Como es el caso de Demócrito. Teorías totalmente contrarias a esta concepción, como puede ser Zenón. El método de exhaucion, atribuido a Euxodo (cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos…) demostrando la unidad del límite, pero no el problema sobre la existencia del límite.
“Edad de Oro” de las matemáticas (entre los años 300 y 200 a.C.)
“la teoría de las secciones cónicas”, surgiendo de las limitaciones de del álgebra geométrica elaborada por Apolonio, que junto con Euclides y Arquímedes fueron los más importantes.
“Métrica” de Herón de Alejandría.
Los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones,
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia
Civilización Egipcia:
Sistema de numeración similar al romano.
Fracciones sencillas
Suma de enteros.
Ecuaciones de primer grado.
Cálculo de primer grado.
Cálculo de áreas y volúmenes elementales.
o Mesopotamia o Antigua Babilonia:
Eficaz sistema de notación fraccionaria.
Numero inverso.
Ecuaciones cuadráticas.
Sistema de dos ecuaciones.
o China Antigua:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces polinómicas.
Elementos básicos de combinatoria.
o India Antigua:
Reglas aritméticas de cálculo.
Resolución de ecuaciones.
Sistema de numeración decimal.
o Grecia:
Duracion de esta época fue menor a cuatro siglos.
Los matemáticos se agrupaban en escuelas.
Aparicion de la "logística" como tal.
La aritmética fue separada en una rama independiente.
Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Se consideraron, el teorema de Pitágoras, la cuadratura del círculo…
Se descubrió la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Dando lugar al álgebra numérica. Algoritmo de Euclides.
Una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides, constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores.
Métodos infinitesimales: investigan los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad…
Aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomicistas. Como es el caso de Demócrito. Teorías totalmente contrarias a esta concepción, como puede ser Zenón. El método de exhaucion, atribuido a Euxodo (cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos…) demostrando la unidad del límite, pero no el problema sobre la existencia del límite.
“Edad de Oro” de las matemáticas (entre los años 300 y 200 a.C.)
“la teoría de las secciones cónicas”, surgiendo de las limitaciones de del álgebra geométrica elaborada por Apolonio, que junto con Euclides y Arquímedes fueron los más importantes.
“Métrica” de Herón de Alejandría.
Los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones,
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia
¿Cómo podemos ENSEÑAR A CONTAR?
UNA PROPUESTA:
En la etapa de enseñanza del conteo, de enseñar a contar, puesto que el proceso en sí es bastante redundante, debemos tratar de hacerlo de una forma un poquito más atractiva que ayude a los niños a aumentar su motivación a la hora de aprender.
Aquí os propongo un método muy sencillo y fácil. Tanto para el docente como para el discente, el éxito de una explicación implica una satisfacción, y de ello en muchos casos, dependerá la presentación a los niños y los materiales utilizados. En este caso utilizaremos cartulinas de diferentes colores.
El profesor utiliza unos números, en este caso fabricados por él ( en cartulinas de colores y plastificados).
De un mismo color, por ejemplo azul.
Con las unidades:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Los niños aprender la secuencia y se les explica que a partir del nueve, los números se deben agrupar de dos en dos. Cogeríamos el 1 y el 0, y formamos el 10. El primer número de dos cifras.
Para esto, tendremos preparada otra cartulina de diferente color, por ejemplo roja, en la que aparezca el número 10, de ésta forma diferenciamos las decenas. Haremos lo mismo con las centenas, etc.
Con las decenas: (DE COLOR ROJO)
10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90
Con las centenas: (DE COLOR AMARILLO)
100 , 200 , 300 , 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900
Cogemos la cartulina roja en la que esté el número 10 y a partir de ahí le ponemos los números azules encima de la cifra de las unidades, que sería encima del cero. Ej:
10 11 , 12 , 13 , 14 …
De esta forma podemos observar no sólo la secuencia, sino también cómo se diferencia entre las posiciones de los números. En función del número de cifras que tengamos iremos diferenciándolas con distintos colores.
• Se asocia la sucesión de unidades, con los dedos de las manos, en el momento que ya los hemos contado, los diez, hemos pasado a las decenas.
Una vez que dominen la sucesión de números de dos cifras, o por lo menos entiendan el procedimiento es hora de incluir las centenas. Comenzaremos superponiendo las unidades, quedándonos en amarillo, en este caso, el hueco de las decenas y centenas. A la hora de pasar de unidades a decenas, observaremos si el niño o niña comprende lo anterior, porque tendrá que hacerlo.
101 , 102, 103 , 104 , 105 , 106 , 107 , 108 , 109
110 , 120 , 130 , 140 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190
111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 , 117 , 118 , 119
Así tendremos ya diferenciadas por colores la sucesión de unidades, decenas y centenas. Al llegar al número 999, incluiríamos el 1000 del mismo modo, dando, por ejemplo el color verde para las unidades de mil.
EN EL MOOODLE ESTÁ EN LA WIKI CON LOS NÚMEROS EN COLOR, PARA QUE LO VEÁIS MÁS CLARO. AQUÍ NO ME PERMITE PONER COLOR.
En la etapa de enseñanza del conteo, de enseñar a contar, puesto que el proceso en sí es bastante redundante, debemos tratar de hacerlo de una forma un poquito más atractiva que ayude a los niños a aumentar su motivación a la hora de aprender.
Aquí os propongo un método muy sencillo y fácil. Tanto para el docente como para el discente, el éxito de una explicación implica una satisfacción, y de ello en muchos casos, dependerá la presentación a los niños y los materiales utilizados. En este caso utilizaremos cartulinas de diferentes colores.
El profesor utiliza unos números, en este caso fabricados por él ( en cartulinas de colores y plastificados).
De un mismo color, por ejemplo azul.
Con las unidades:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Los niños aprender la secuencia y se les explica que a partir del nueve, los números se deben agrupar de dos en dos. Cogeríamos el 1 y el 0, y formamos el 10. El primer número de dos cifras.
Para esto, tendremos preparada otra cartulina de diferente color, por ejemplo roja, en la que aparezca el número 10, de ésta forma diferenciamos las decenas. Haremos lo mismo con las centenas, etc.
Con las decenas: (DE COLOR ROJO)
10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90
Con las centenas: (DE COLOR AMARILLO)
100 , 200 , 300 , 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900
Cogemos la cartulina roja en la que esté el número 10 y a partir de ahí le ponemos los números azules encima de la cifra de las unidades, que sería encima del cero. Ej:
10 11 , 12 , 13 , 14 …
De esta forma podemos observar no sólo la secuencia, sino también cómo se diferencia entre las posiciones de los números. En función del número de cifras que tengamos iremos diferenciándolas con distintos colores.
• Se asocia la sucesión de unidades, con los dedos de las manos, en el momento que ya los hemos contado, los diez, hemos pasado a las decenas.
Una vez que dominen la sucesión de números de dos cifras, o por lo menos entiendan el procedimiento es hora de incluir las centenas. Comenzaremos superponiendo las unidades, quedándonos en amarillo, en este caso, el hueco de las decenas y centenas. A la hora de pasar de unidades a decenas, observaremos si el niño o niña comprende lo anterior, porque tendrá que hacerlo.
101 , 102, 103 , 104 , 105 , 106 , 107 , 108 , 109
110 , 120 , 130 , 140 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190
111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 , 117 , 118 , 119
Así tendremos ya diferenciadas por colores la sucesión de unidades, decenas y centenas. Al llegar al número 999, incluiríamos el 1000 del mismo modo, dando, por ejemplo el color verde para las unidades de mil.
EN EL MOOODLE ESTÁ EN LA WIKI CON LOS NÚMEROS EN COLOR, PARA QUE LO VEÁIS MÁS CLARO. AQUÍ NO ME PERMITE PONER COLOR.
LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO NATURAL Y LA NUMERACIÓN.
Origen de la configuración de una estructura numérica, junto con los principios de un sistema que permitió su designación:
- Matemática Babilónica.
- Se amplió con aportaciones de la matemática griega.
La introducción del sistema de numeración decimal se introdujo en Europa:
- Año 770. Escuela matemática de Bagdad surge la notación decimal hindú.
- 825. Comienza su difusión con la obra de Al Khwarizmi.
- Ppios. S. XII. Gerardo de Cremona y Robert Chester (escuela traductores de Toledo) la traducen al latín.
(Los europeos aprendieron de los árabes, y éstos de los hindúes, además de la escritura de los números, el método del cálculo escrito (algoritmos, derivado de Al Khwarizmi).
OBJETIVOS:
- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático y didáctico, la notación de número natural y de sistema de numeración.
- Aproximarnos a diferentes modelos de enseñanza del número y de la numeración para determinar cómo la institución escolar ha considerado, y considera en la actualidad, estos conocimientos matemáticos en los primeros niveles escolares.
- Construir, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, la situación fundamental para la cardinación de una colección, determinar sus variables didácticas para generar una familia de situaciones didácticas derivadas de ella.
- Analizar las situaciones que puedan dar significación al número natural y a la numeración en los niveles escolares donde comienzan a construirse estos conocimientos matemáticos.
- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los alumnos en la resolución de los problemas anteriores, así como la actividad matemática que desarrollan con ellos.
- Estudiar la evolución seguida en la designación de los números: análisis, limitaciones y propiedades de diferentes sistemas de numeración.
- Llevar a cabo análisis didácticos de situaciones de enseñanza-aprendizaje del número de y de la numeración.
- Analizar errores cometidos por los niños en relación con estos conocimientos matemáticos e identificar sus causas.
LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO Y DE LA NUMERACIÓN. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.
(Estudio relativo a procesos de transposición didáctica. Como iniciación al análisis didáctico del tema, vemos la evolución en los programas y manuales escolares de los tres últimos periodos históricos en los que se refiere a la numeración y el número natural).
1953-1971.
Los números se presentan en los textos escolares comenzando por la unidad, y todo número se formaba a partir del anterior. Aprendizaje por ostensión. La hipótesis de los autores principalmente empirista: aprendizaje basado en la experiencia, graduando adecuadamente los pasos desde lo más simple a lo más complejo (observar, reproducir y repetir).
Se distingue entre números concretos y abstractos:
“Números concretos son los que expresan la especie de sus unidades. Siete pesetas, cuatro niños, quince metros, etc. Números abstractos son los que no expresan la especie de sus unidades: cuatro, siete, doce.”
1971-1992.
Aparece la necesidad de adquirir “conocimientos prenuméricos” (sin ellos no es posible construir el número):
- 1ª etapa EGB; se pretende que los alumnos lleguen a la expresión numérica mediante el ejercicio y la expresión consciente de las relaciones entre conjuntos, la comprensión del número como una propiedad de aquéllos. Se profundiza para llegar al conocimiento del número natural partiendo de la teoría de los conjuntos (el niño se familiariza antes con los conjuntos que con los números).
Se induce una concepción del número natural como “cardinal de un conjunto finito”.
Se considera necesario, en la progresión del conocimiento escolar, comenzar por las nociones prenuméricas como son las de: conjunto, correspondencia, biyeción, relación, etc.
Cada número se construye como propiedad de una familia de conjuntos coordinables entre sí, no por adición de la unidad al anterior.
Presenta la numeración a partir de distintas bases (base 2, base 5):
El niño se familiariza con los cambios de unidades que después tendrá que hacer en el sistema de numeración decimal e interiorizará, con muchos ejercicios, los distintos agrupamientos en función del sistema de numeración en el que trabaje.
La numeración también se trata como objeto de estudio. Para que los alumnos abstrajesen las propiedades que permanecen constantes (los fundamentos sobre los que se asientan los sistemas de numeración posicionales, se les presentaban actividades en diferentes bases y a través de la manipulación de materiales (multibase de Dienes).
Si comparamos los dias periodos anteriores vemos que antes de 1971, los números se estudian por iteración sucesiva de la unidad (del estudio del número se precisaban las reglas de escritura, las convenciones, sumas, descomposiciones, etc.
Al contrario, después de 1971 son las nociones las que sirven como trama para su prgresión: nociones prenuméricas (clasificación, orden, correspondencia), después la noción de número, y luego numeración y demás operaciones.
A partir de 1992.
En los nuevos diseños curriculares se indican los siguientes contenidos en cuanto al número natural:
- necesidad y funciones del número: contar medir, ordenar, expresar cantidades o particiones.
- Relaciones entre números. Números cardinales y ordinales.
- Sistema de numeración decimal.
Objetivos:- reconocer situaciones en las que existan problemas cuyo tratamiento requiera operaciones elementales de cálculo, formularlos mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los algoritmos correspondientes.
- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración…
- Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
Se refleja en los textos escolares donde se introducen los números mediante el conteo. “el uno, el siguiente se designa como dos, luego el tres”. Éstos se acompañan de imágenes donde se aprecia que el tres, por ejemplo, se forma con un dos y un uno, y así sucesivamente para todos los primeros números.
¿Qué concepción del número natural promueve ésta presentación?
Los manuales apoyan un conocimiento social, como contar, y promueven la concepción del número natural “counting-number” (Freudenthal, 1983), frente a “cardinal -number”
La numeración como medio para designar los números.
La didáctica que hoy se propone ofrece útiles como es el número y su designación, para su aplicación posterior en la resolución de problemas.
Las orientaciones didácticas facilitadas por los diseños curriculares insisten en un aprendizaje constructivista, mientras que los manuales escolares a un modelo empirista.
Hoy la presentación en los textos tiene mucho en común con la del primer periodo histórico. Brousseau (1996), ante este retorno, considera que “la insuficiencia de conocimientos didácticos impide reformas eficientes en el sistema educativo. En los años 70 y 80 se da un sentido más rico y completo a las situaciones de enseñanza de los números. El conteo acompañaba el aprendizaje, hoy volvemos al aprendizaje de los números sólo por medio del conteo. Rechaza éste retorno de métodos antiguos, la cultura de los profesores ha perdido, por esto, conocimientos útiles y costosamente adquiridos.
Así pues en el análisis didáctico no podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje queremos gestionar.
CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS EN RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA.
1. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados en el medio social y familiar, por lo tanto tendremos en cuenta las experiencias o conocimientos previos de los niños con los números.
2. Debemos buscar situaciones que les permita encontrar razones del ser del número y la numeración, por lo tanto estudiaremos formalmente las funciones de estos conceptos y así construir un conunto de situciones donde la cardinación jueguen una función y tengan significación.
3. Es necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.
4. Para dar significación al número y a la numeración debemos atender a: ¿para qué tenemos necesidad del número y de su designación?
PROCEDIMIENTOS QUE PUEDEN EMPLEAR LOS NIÑOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Resaltamos, entre otros:
1. Correspondencia término a término.
2. Correspondencia subconjunto a subconjunto.
3. Estimación puramente visual.
4. Subitizar.
5. Contar.
6. Recontar.
7. Descontar.
8. Sobrecontar.
9. Procedimientos mixtos.
10. Procedimientos de cálculo.
- Matemática Babilónica.
- Se amplió con aportaciones de la matemática griega.
La introducción del sistema de numeración decimal se introdujo en Europa:
- Año 770. Escuela matemática de Bagdad surge la notación decimal hindú.
- 825. Comienza su difusión con la obra de Al Khwarizmi.
- Ppios. S. XII. Gerardo de Cremona y Robert Chester (escuela traductores de Toledo) la traducen al latín.
(Los europeos aprendieron de los árabes, y éstos de los hindúes, además de la escritura de los números, el método del cálculo escrito (algoritmos, derivado de Al Khwarizmi).
OBJETIVOS:
- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático y didáctico, la notación de número natural y de sistema de numeración.
- Aproximarnos a diferentes modelos de enseñanza del número y de la numeración para determinar cómo la institución escolar ha considerado, y considera en la actualidad, estos conocimientos matemáticos en los primeros niveles escolares.
- Construir, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, la situación fundamental para la cardinación de una colección, determinar sus variables didácticas para generar una familia de situaciones didácticas derivadas de ella.
- Analizar las situaciones que puedan dar significación al número natural y a la numeración en los niveles escolares donde comienzan a construirse estos conocimientos matemáticos.
- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los alumnos en la resolución de los problemas anteriores, así como la actividad matemática que desarrollan con ellos.
- Estudiar la evolución seguida en la designación de los números: análisis, limitaciones y propiedades de diferentes sistemas de numeración.
- Llevar a cabo análisis didácticos de situaciones de enseñanza-aprendizaje del número de y de la numeración.
- Analizar errores cometidos por los niños en relación con estos conocimientos matemáticos e identificar sus causas.
LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO Y DE LA NUMERACIÓN. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.
(Estudio relativo a procesos de transposición didáctica. Como iniciación al análisis didáctico del tema, vemos la evolución en los programas y manuales escolares de los tres últimos periodos históricos en los que se refiere a la numeración y el número natural).
1953-1971.
Los números se presentan en los textos escolares comenzando por la unidad, y todo número se formaba a partir del anterior. Aprendizaje por ostensión. La hipótesis de los autores principalmente empirista: aprendizaje basado en la experiencia, graduando adecuadamente los pasos desde lo más simple a lo más complejo (observar, reproducir y repetir).
Se distingue entre números concretos y abstractos:
“Números concretos son los que expresan la especie de sus unidades. Siete pesetas, cuatro niños, quince metros, etc. Números abstractos son los que no expresan la especie de sus unidades: cuatro, siete, doce.”
1971-1992.
Aparece la necesidad de adquirir “conocimientos prenuméricos” (sin ellos no es posible construir el número):
- 1ª etapa EGB; se pretende que los alumnos lleguen a la expresión numérica mediante el ejercicio y la expresión consciente de las relaciones entre conjuntos, la comprensión del número como una propiedad de aquéllos. Se profundiza para llegar al conocimiento del número natural partiendo de la teoría de los conjuntos (el niño se familiariza antes con los conjuntos que con los números).
Se induce una concepción del número natural como “cardinal de un conjunto finito”.
Se considera necesario, en la progresión del conocimiento escolar, comenzar por las nociones prenuméricas como son las de: conjunto, correspondencia, biyeción, relación, etc.
Cada número se construye como propiedad de una familia de conjuntos coordinables entre sí, no por adición de la unidad al anterior.
Presenta la numeración a partir de distintas bases (base 2, base 5):
El niño se familiariza con los cambios de unidades que después tendrá que hacer en el sistema de numeración decimal e interiorizará, con muchos ejercicios, los distintos agrupamientos en función del sistema de numeración en el que trabaje.
La numeración también se trata como objeto de estudio. Para que los alumnos abstrajesen las propiedades que permanecen constantes (los fundamentos sobre los que se asientan los sistemas de numeración posicionales, se les presentaban actividades en diferentes bases y a través de la manipulación de materiales (multibase de Dienes).
Si comparamos los dias periodos anteriores vemos que antes de 1971, los números se estudian por iteración sucesiva de la unidad (del estudio del número se precisaban las reglas de escritura, las convenciones, sumas, descomposiciones, etc.
Al contrario, después de 1971 son las nociones las que sirven como trama para su prgresión: nociones prenuméricas (clasificación, orden, correspondencia), después la noción de número, y luego numeración y demás operaciones.
A partir de 1992.
En los nuevos diseños curriculares se indican los siguientes contenidos en cuanto al número natural:
- necesidad y funciones del número: contar medir, ordenar, expresar cantidades o particiones.
- Relaciones entre números. Números cardinales y ordinales.
- Sistema de numeración decimal.
Objetivos:- reconocer situaciones en las que existan problemas cuyo tratamiento requiera operaciones elementales de cálculo, formularlos mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los algoritmos correspondientes.
- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración…
- Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
Se refleja en los textos escolares donde se introducen los números mediante el conteo. “el uno, el siguiente se designa como dos, luego el tres”. Éstos se acompañan de imágenes donde se aprecia que el tres, por ejemplo, se forma con un dos y un uno, y así sucesivamente para todos los primeros números.
¿Qué concepción del número natural promueve ésta presentación?
Los manuales apoyan un conocimiento social, como contar, y promueven la concepción del número natural “counting-number” (Freudenthal, 1983), frente a “cardinal -number”
La numeración como medio para designar los números.
La didáctica que hoy se propone ofrece útiles como es el número y su designación, para su aplicación posterior en la resolución de problemas.
Las orientaciones didácticas facilitadas por los diseños curriculares insisten en un aprendizaje constructivista, mientras que los manuales escolares a un modelo empirista.
Hoy la presentación en los textos tiene mucho en común con la del primer periodo histórico. Brousseau (1996), ante este retorno, considera que “la insuficiencia de conocimientos didácticos impide reformas eficientes en el sistema educativo. En los años 70 y 80 se da un sentido más rico y completo a las situaciones de enseñanza de los números. El conteo acompañaba el aprendizaje, hoy volvemos al aprendizaje de los números sólo por medio del conteo. Rechaza éste retorno de métodos antiguos, la cultura de los profesores ha perdido, por esto, conocimientos útiles y costosamente adquiridos.
Así pues en el análisis didáctico no podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje queremos gestionar.
CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS EN RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA.
1. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados en el medio social y familiar, por lo tanto tendremos en cuenta las experiencias o conocimientos previos de los niños con los números.
2. Debemos buscar situaciones que les permita encontrar razones del ser del número y la numeración, por lo tanto estudiaremos formalmente las funciones de estos conceptos y así construir un conunto de situciones donde la cardinación jueguen una función y tengan significación.
3. Es necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.
4. Para dar significación al número y a la numeración debemos atender a: ¿para qué tenemos necesidad del número y de su designación?
PROCEDIMIENTOS QUE PUEDEN EMPLEAR LOS NIÑOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Resaltamos, entre otros:
1. Correspondencia término a término.
2. Correspondencia subconjunto a subconjunto.
3. Estimación puramente visual.
4. Subitizar.
5. Contar.
6. Recontar.
7. Descontar.
8. Sobrecontar.
9. Procedimientos mixtos.
10. Procedimientos de cálculo.
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